Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119161 / 117145
↖ ↑ ↗
← S 80.368490°
E147.285461°		 ← 51.10 m → S 80.368490°
E147.288208°		 →
↑
51.10 m
↓
↑
51.10 m
↓
S 80.368950°
E147.285461°		 ← 51.10 m →
2 611 m²		 S 80.368950°
E147.288208°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119161 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 117145 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.909130096435547 y=0.893749237060547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.909130096435547 × 217)
    floor (0.909130096435547 × 131072)
    floor (119161.5)     		tx = 119161
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.893749237060547 × 217)
    floor (0.893749237060547 × 131072)
    floor (117145.5)     		ty = 117145
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119161 / 117145 ti = "17/119161/117145"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119161/117145.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119161 ÷ 217
    119161 ÷ 131072     		x = 0.909126281738281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 117145 ÷ 217
    117145 ÷ 131072     		y = 0.893745422363281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.909126281738281 × 2 - 1) × π
    0.818252563476562 × 3.1415926535     		Λ = 2.57061624
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.893745422363281 × 2 - 1) × π
    -0.787490844726562 × 3.1415926535     		Φ = -2.47397545249148
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.57061624} λ = 2.57061624}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.47397545249148))-π/2
    2×atan(0.0842492634272222)-π/2
    2×0.0840507760277733-π/2
    0.168101552055547-1.57079632675     		φ = -1.40269477
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.57061624} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.285461°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40269477 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.368490°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119161 KachelY 117145 2.57061624 -1.40269477 147.285461 -80.368490
    Oben rechts KachelX + 1 119162 KachelY 117145 2.57066418 -1.40269477 147.288208 -80.368490
    Unten links KachelX 119161 KachelY + 1 117146 2.57061624 -1.40270279 147.285461 -80.368950
    Unten rechts KachelX + 1 119162 KachelY + 1 117146 2.57066418 -1.40270279 147.288208 -80.368950
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40269477--1.40270279) × R
    8.01999999988645e-06 × 6371000     		dl = 51.0954199992766m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40269477--1.40270279) × R
    8.01999999988645e-06 × 6371000     		dr = 51.0954199992766m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.57061624-2.57066418) × cos(-1.40269477) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.167310968613296 × 6371000     		do = 51.1010763987992m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.57061624-2.57066418) × cos(-1.40270279) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.167303061656442 × 6371000     		du = 51.0986614106509m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40269477)-sin(-1.40270279))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.167310968613296-0.167303061656442)×R²
    abs(2.57066418-2.57061624)×7.90695685387588e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.90695685387588e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.90695685387588e-06×40589641000000     		ar = 2610.9692634749m²