Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119160 / 117144
↖ ↑ ↗
← S 80.368031°
E147.282715°		 ← 51.09 m → S 80.368031°
E147.285461°		 →
↑
51.10 m
↓
↑
51.10 m
↓
S 80.368490°
E147.282715°		 ← 51.09 m →
2 611 m²		 S 80.368490°
E147.285461°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119160 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 117144 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.909122467041016 y=0.893741607666016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.909122467041016 × 217)
    floor (0.909122467041016 × 131072)
    floor (119160.5)     		tx = 119160
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.893741607666016 × 217)
    floor (0.893741607666016 × 131072)
    floor (117144.5)     		ty = 117144
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119160 / 117144 ti = "17/119160/117144"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119160/117144.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119160 ÷ 217
    119160 ÷ 131072     		x = 0.90911865234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 117144 ÷ 217
    117144 ÷ 131072     		y = 0.89373779296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.90911865234375 × 2 - 1) × π
    0.8182373046875 × 3.1415926535     		Λ = 2.57056831
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.89373779296875 × 2 - 1) × π
    -0.7874755859375 × 3.1415926535     		Φ = -2.47392751559186
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.57056831} λ = 2.57056831}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.47392751559186))-π/2
    2×atan(0.0842533021725078)-π/2
    2×0.0840547863069797-π/2
    0.168109572613959-1.57079632675     		φ = -1.40268675
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.57056831} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.282715°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40268675 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.368031°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119160 KachelY 117144 2.57056831 -1.40268675 147.282715 -80.368031
    Oben rechts KachelX + 1 119161 KachelY 117144 2.57061624 -1.40268675 147.285461 -80.368031
    Unten links KachelX 119160 KachelY + 1 117145 2.57056831 -1.40269477 147.282715 -80.368490
    Unten rechts KachelX + 1 119161 KachelY + 1 117145 2.57061624 -1.40269477 147.285461 -80.368490
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40268675--1.40269477) × R
    8.0200000001085e-06 × 6371000     		dl = 51.0954200006912m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40268675--1.40269477) × R
    8.0200000001085e-06 × 6371000     		dr = 51.0954200006912m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.57056831-2.57061624) × cos(-1.40268675) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.167318875559389 × 6371000     		do = 51.0928314981636m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.57056831-2.57061624) × cos(-1.40269477) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.167310968613296 × 6371000     		du = 51.0904170170536m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40268675)-sin(-1.40269477))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.167318875559389-0.167310968613296)×R²
    abs(2.57061624-2.57056831)×7.90694609259512e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.90694609259512e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.90694609259512e-06×40589641000000     		ar = 2610.54799992132m²