Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 11916 / 13739
↖ ↑ ↗
← N 27.887639°
W 49.086914°		 ← 1 079.77 m → N 27.887639°
W 49.075928°		 →
↑
1 079.76 m
↓
↑
1 079.76 m
↓
N 27.877928°
W 49.086914°		 ← 1 079.86 m →
1 165 937 m²		 N 27.877928°
W 49.075928°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11916 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13739 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.363662719726562 y=0.419296264648438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.363662719726562 × 215)
    floor (0.363662719726562 × 32768)
    floor (11916.5)     		tx = 11916
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.419296264648438 × 215)
    floor (0.419296264648438 × 32768)
    floor (13739.5)     		ty = 13739
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11916 / 13739 ti = "15/11916/13739"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11916/13739.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11916 ÷ 215
    11916 ÷ 32768     		x = 0.3636474609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13739 ÷ 215
    13739 ÷ 32768     		y = 0.419281005859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3636474609375 × 2 - 1) × π
    -0.272705078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.85672827
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.419281005859375 × 2 - 1) × π
    0.16143798828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.507172397980194
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.85672827} λ = -0.85672827}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.507172397980194))-π/2
    2×atan(1.66058906520819)-π/2
    2×1.02876372586471-π/2
    2.05752745172941-1.57079632675     		φ = 0.48673112
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.85672827} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -49.086914°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48673112 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.887639°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11916 KachelY 13739 -0.85672827 0.48673112 -49.086914 27.887639
    Oben rechts KachelX + 1 11917 KachelY 13739 -0.85653652 0.48673112 -49.075928 27.887639
    Unten links KachelX 11916 KachelY + 1 13740 -0.85672827 0.48656164 -49.086914 27.877928
    Unten rechts KachelX + 1 11917 KachelY + 1 13740 -0.85653652 0.48656164 -49.075928 27.877928
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48673112-0.48656164) × R
    0.00016948 × 6371000     		dl = 1079.75708m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48673112-0.48656164) × R
    0.00016948 × 6371000     		dr = 1079.75708m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.85672827--0.85653652) × cos(0.48673112) × R
    0.000191749999999935 × 0.88386656131022 × 6371000     		do = 1079.76608305873m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.85672827--0.85653652) × cos(0.48656164) × R
    0.000191749999999935 × 0.883945821045196 × 6371000     		du = 1079.86290986192m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48673112)-sin(0.48656164))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.88386656131022-0.883945821045196)×R²
    abs(-0.85653652--0.85672827)×7.92597349764668e-05×R²
    0.000191749999999935×7.92597349764668e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.92597349764668e-05×40589641000000     		ar = 1165937.35043043m²