Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119157 / 117152
↖ ↑ ↗
← S 80.371707°
E147.274475°		 ← 51.08 m → S 80.371707°
E147.277222°		 →
↑
51.10 m
↓
↑
51.10 m
↓
S 80.372166°
E147.274475°		 ← 51.08 m →
2 610 m²		 S 80.372166°
E147.277222°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119157 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 117152 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.909099578857422 y=0.893802642822266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.909099578857422 × 217)
    floor (0.909099578857422 × 131072)
    floor (119157.5)     		tx = 119157
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.893802642822266 × 217)
    floor (0.893802642822266 × 131072)
    floor (117152.5)     		ty = 117152
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119157 / 117152 ti = "17/119157/117152"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119157/117152.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119157 ÷ 217
    119157 ÷ 131072     		x = 0.909095764160156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 117152 ÷ 217
    117152 ÷ 131072     		y = 0.893798828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.909095764160156 × 2 - 1) × π
    0.818191528320312 × 3.1415926535     		Λ = 2.57042449
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.893798828125 × 2 - 1) × π
    -0.78759765625 × 3.1415926535     		Φ = -2.47431101078882
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.57042449} λ = 2.57042449}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.47431101078882))-π/2
    2×atan(0.0842209976305109)-π/2
    2×0.084022709379572-π/2
    0.168045418759144-1.57079632675     		φ = -1.40275091
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.57042449} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.274475°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40275091 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.371707°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119157 KachelY 117152 2.57042449 -1.40275091 147.274475 -80.371707
    Oben rechts KachelX + 1 119158 KachelY 117152 2.57047243 -1.40275091 147.277222 -80.371707
    Unten links KachelX 119157 KachelY + 1 117153 2.57042449 -1.40275893 147.274475 -80.372166
    Unten rechts KachelX + 1 119158 KachelY + 1 117153 2.57047243 -1.40275893 147.277222 -80.372166
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40275091--1.40275893) × R
    8.0200000001085e-06 × 6371000     		dl = 51.0954200006912m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40275091--1.40275893) × R
    8.0200000001085e-06 × 6371000     		dr = 51.0954200006912m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.57042449-2.57047243) × cos(-1.40275091) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.167255619689355 × 6371000     		do = 51.0841714127463m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.57042449-2.57047243) × cos(-1.40275893) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.167247712657184 × 6371000     		du = 51.0817564015944m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40275091)-sin(-1.40275893))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.167255619689355-0.167247712657184)×R²
    abs(2.57047243-2.57042449)×7.90703217043442e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.90703217043442e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.90703217043442e-06×40589641000000     		ar = 2610.10549569495m²