Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119156 / 117075
↖ ↑ ↗
← S 80.336270°
E147.271729°		 ← 51.26 m → S 80.336270°
E147.274475°		 →
↑
51.29 m
↓
↑
51.29 m
↓
S 80.336731°
E147.271729°		 ← 51.26 m →
2 629 m²		 S 80.336731°
E147.274475°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119156 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 117075 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.909091949462891 y=0.893215179443359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.909091949462891 × 217)
    floor (0.909091949462891 × 131072)
    floor (119156.5)     		tx = 119156
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.893215179443359 × 217)
    floor (0.893215179443359 × 131072)
    floor (117075.5)     		ty = 117075
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119156 / 117075 ti = "17/119156/117075"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119156/117075.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119156 ÷ 217
    119156 ÷ 131072     		x = 0.909088134765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 117075 ÷ 217
    117075 ÷ 131072     		y = 0.893211364746094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.909088134765625 × 2 - 1) × π
    0.81817626953125 × 3.1415926535     		Λ = 2.57037656
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.893211364746094 × 2 - 1) × π
    -0.786422729492188 × 3.1415926535     		Φ = -2.47061986951807
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.57037656} λ = 2.57037656}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.47061986951807))-π/2
    2×atan(0.0845324436727897)-π/2
    2×0.084331953775288-π/2
    0.168663907550576-1.57079632675     		φ = -1.40213242
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.57037656} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.271729°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40213242 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.336270°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119156 KachelY 117075 2.57037656 -1.40213242 147.271729 -80.336270
    Oben rechts KachelX + 1 119157 KachelY 117075 2.57042449 -1.40213242 147.274475 -80.336270
    Unten links KachelX 119156 KachelY + 1 117076 2.57037656 -1.40214047 147.271729 -80.336731
    Unten rechts KachelX + 1 119157 KachelY + 1 117076 2.57042449 -1.40214047 147.274475 -80.336731
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40213242--1.40214047) × R
    8.04999999992617e-06 × 6371000     		dl = 51.2865499995296m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40213242--1.40214047) × R
    8.04999999992617e-06 × 6371000     		dr = 51.2865499995296m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.57037656-2.57042449) × cos(-1.40213242) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.16786536534117 × 6371000     		do = 51.2597087273027m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.57037656-2.57042449) × cos(-1.40214047) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.167857429565791 × 6371000     		du = 51.2572854428232m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40213242)-sin(-1.40214047))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.16786536534117-0.167857429565791)×R²
    abs(2.57042449-2.57037656)×7.93577537958057e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.93577537958057e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.93577537958057e-06×40589641000000     		ar = 2628.87147366837m²