Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 11915 / 13734
↖ ↑ ↗
← N 27.936180°
W 49.097901°		 ← 1 079.28 m → N 27.936180°
W 49.086914°		 →
↑
1 079.31 m
↓
↑
1 079.31 m
↓
N 27.926474°
W 49.097901°		 ← 1 079.38 m →
1 164 933 m²		 N 27.926474°
W 49.086914°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11915 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13734 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.363632202148438 y=0.419143676757812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.363632202148438 × 215)
    floor (0.363632202148438 × 32768)
    floor (11915.5)     		tx = 11915
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.419143676757812 × 215)
    floor (0.419143676757812 × 32768)
    floor (13734.5)     		ty = 13734
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11915 / 13734 ti = "15/11915/13734"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11915/13734.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11915 ÷ 215
    11915 ÷ 32768     		x = 0.363616943359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13734 ÷ 215
    13734 ÷ 32768     		y = 0.41912841796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.363616943359375 × 2 - 1) × π
    -0.27276611328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.85692002
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.41912841796875 × 2 - 1) × π
    0.1617431640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.508131135972595
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.85692002} λ = -0.85692002}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.508131135972595))-π/2
    2×atan(1.66218189846764)-π/2
    2×1.02918732905192-π/2
    2.05837465810385-1.57079632675     		φ = 0.48757833
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.85692002} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -49.097901°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48757833 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.936180°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11915 KachelY 13734 -0.85692002 0.48757833 -49.097901 27.936180
    Oben rechts KachelX + 1 11916 KachelY 13734 -0.85672827 0.48757833 -49.086914 27.936180
    Unten links KachelX 11915 KachelY + 1 13735 -0.85692002 0.48740892 -49.097901 27.926474
    Unten rechts KachelX + 1 11916 KachelY + 1 13735 -0.85672827 0.48740892 -49.086914 27.926474
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48757833-0.48740892) × R
    0.000169409999999981 × 6371000     		dl = 1079.31110999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48757833-0.48740892) × R
    0.000169409999999981 × 6371000     		dr = 1079.31110999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.85692002--0.85672827) × cos(0.48757833) × R
    0.000191750000000046 × 0.883469970877867 × 6371000     		do = 1079.28159262102m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.85692002--0.85672827) × cos(0.48740892) × R
    0.000191750000000046 × 0.883549324716522 × 6371000     		du = 1079.37853438496m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48757833)-sin(0.48740892))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.883469970877867-0.883549324716522)×R²
    abs(-0.85672827--0.85692002)×7.93538386545389e-05×R²
    0.000191750000000046×7.93538386545389e-05×6371000²
    0.000191750000000046×7.93538386545389e-05×40589641000000     		ar = 1164932.9316817m²