Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 11914 / 13738
↖ ↑ ↗
← N 27.897349°
W 49.108887°		 ← 1 079.67 m → N 27.897349°
W 49.097901°		 →
↑
1 079.76 m
↓
↑
1 079.76 m
↓
N 27.887639°
W 49.108887°		 ← 1 079.77 m →
1 165 833 m²		 N 27.887639°
W 49.097901°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11914 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13738 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.363601684570312 y=0.419265747070312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.363601684570312 × 215)
    floor (0.363601684570312 × 32768)
    floor (11914.5)     		tx = 11914
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.419265747070312 × 215)
    floor (0.419265747070312 × 32768)
    floor (13738.5)     		ty = 13738
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11914 / 13738 ti = "15/11914/13738"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11914/13738.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11914 ÷ 215
    11914 ÷ 32768     		x = 0.36358642578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13738 ÷ 215
    13738 ÷ 32768     		y = 0.41925048828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.36358642578125 × 2 - 1) × π
    -0.2728271484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.85711177
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.41925048828125 × 2 - 1) × π
    0.1614990234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.507364145578674
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.85711177} λ = -0.85711177}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.507364145578674))-π/2
    2×atan(1.66090750970301)-π/2
    2×1.02884846170939-π/2
    2.05769692341877-1.57079632675     		φ = 0.48690060
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.85711177} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -49.108887°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48690060 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.897349°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11914 KachelY 13738 -0.85711177 0.48690060 -49.108887 27.897349
    Oben rechts KachelX + 1 11915 KachelY 13738 -0.85692002 0.48690060 -49.097901 27.897349
    Unten links KachelX 11914 KachelY + 1 13739 -0.85711177 0.48673112 -49.108887 27.887639
    Unten rechts KachelX + 1 11915 KachelY + 1 13739 -0.85692002 0.48673112 -49.097901 27.887639
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48690060-0.48673112) × R
    0.00016948 × 6371000     		dl = 1079.75708m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48690060-0.48673112) × R
    0.00016948 × 6371000     		dr = 1079.75708m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.85711177--0.85692002) × cos(0.48690060) × R
    0.000191750000000046 × 0.883787276187528 × 6371000     		do = 1079.66922524153m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.85711177--0.85692002) × cos(0.48673112) × R
    0.000191750000000046 × 0.88386656131022 × 6371000     		du = 1079.76608305935m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48690060)-sin(0.48673112))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.883787276187528-0.88386656131022)×R²
    abs(-0.85692002--0.85711177)×7.92851226913971e-05×R²
    0.000191750000000046×7.92851226913971e-05×6371000²
    0.000191750000000046×7.92851226913971e-05×40589641000000     		ar = 1165832.78426051m²