Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119136 / 118752
↖ ↑ ↗
← S 81.079596°
E147.216797°		 ← 47.36 m → S 81.079596°
E147.219544°		 →
↑
47.34 m
↓
↑
47.34 m
↓
S 81.080021°
E147.216797°		 ← 47.36 m →
2 242 m²		 S 81.080021°
E147.219544°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119136 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118752 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.908939361572266 y=0.906009674072266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.908939361572266 × 217)
    floor (0.908939361572266 × 131072)
    floor (119136.5)     		tx = 119136
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.906009674072266 × 217)
    floor (0.906009674072266 × 131072)
    floor (118752.5)     		ty = 118752
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119136 / 118752 ti = "17/119136/118752"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119136/118752.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119136 ÷ 217
    119136 ÷ 131072     		x = 0.908935546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118752 ÷ 217
    118752 ÷ 131072     		y = 0.906005859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.908935546875 × 2 - 1) × π
    0.81787109375 × 3.1415926535     		Λ = 2.56941782
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.906005859375 × 2 - 1) × π
    -0.81201171875 × 3.1415926535     		Φ = -2.55101005018091
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.56941782} λ = 2.56941782}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.55101005018091))-π/2
    2×atan(0.0780028394163878)-π/2
    2×0.0778452131825449-π/2
    0.15569042636509-1.57079632675     		φ = -1.41510590
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.56941782} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.216797°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41510590 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.079596°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119136 KachelY 118752 2.56941782 -1.41510590 147.216797 -81.079596
    Oben rechts KachelX + 1 119137 KachelY 118752 2.56946576 -1.41510590 147.219544 -81.079596
    Unten links KachelX 119136 KachelY + 1 118753 2.56941782 -1.41511333 147.216797 -81.080021
    Unten rechts KachelX + 1 119137 KachelY + 1 118753 2.56946576 -1.41511333 147.219544 -81.080021
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41510590--1.41511333) × R
    7.43000000014149e-06 × 6371000     		dl = 47.3365300009014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41510590--1.41511333) × R
    7.43000000014149e-06 × 6371000     		dr = 47.3365300009014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.56941782-2.56946576) × cos(-1.41510590) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.155062212075803 × 6371000     		do = 47.359990869258m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.56941782-2.56946576) × cos(-1.41511333) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.155054871939549 × 6371000     		du = 47.3577490027108m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41510590)-sin(-1.41511333))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.155062212075803-0.155054871939549)×R²
    abs(2.56946576-2.56941782)×7.34013625422469e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.34013625422469e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.34013625422469e-06×40589641000000     		ar = 2241.80456766045m²