Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 11912 / 13752
↖ ↑ ↗
← N 27.761330°
W 49.130859°		 ← 1 081.02 m → N 27.761330°
W 49.119873°		 →
↑
1 081.03 m
↓
↑
1 081.03 m
↓
N 27.751608°
W 49.130859°		 ← 1 081.12 m →
1 168 672 m²		 N 27.751608°
W 49.119873°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11912 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13752 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.363540649414062 y=0.419692993164062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.363540649414062 × 215)
    floor (0.363540649414062 × 32768)
    floor (11912.5)     		tx = 11912
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.419692993164062 × 215)
    floor (0.419692993164062 × 32768)
    floor (13752.5)     		ty = 13752
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11912 / 13752 ti = "15/11912/13752"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11912/13752.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11912 ÷ 215
    11912 ÷ 32768     		x = 0.363525390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13752 ÷ 215
    13752 ÷ 32768     		y = 0.419677734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.363525390625 × 2 - 1) × π
    -0.27294921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.85749526
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.419677734375 × 2 - 1) × π
    0.16064453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.504679679199951
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.85749526} λ = -0.85749526}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.504679679199951))-π/2
    2×atan(1.65645483853204)-π/2
    2×1.02766146891226-π/2
    2.05532293782451-1.57079632675     		φ = 0.48452661
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.85749526} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -49.130859°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48452661 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.761330°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11912 KachelY 13752 -0.85749526 0.48452661 -49.130859 27.761330
    Oben rechts KachelX + 1 11913 KachelY 13752 -0.85730351 0.48452661 -49.119873 27.761330
    Unten links KachelX 11912 KachelY + 1 13753 -0.85749526 0.48435693 -49.130859 27.751608
    Unten rechts KachelX + 1 11913 KachelY + 1 13753 -0.85730351 0.48435693 -49.119873 27.751608
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48452661-0.48435693) × R
    0.000169680000000005 × 6371000     		dl = 1081.03128000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48452661-0.48435693) × R
    0.000169680000000005 × 6371000     		dr = 1081.03128000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.85749526--0.85730351) × cos(0.48452661) × R
    0.000191749999999935 × 0.884895548348582 × 6371000     		do = 1081.02313401253m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.85749526--0.85730351) × cos(0.48435693) × R
    0.000191749999999935 × 0.884974570773774 × 6371000     		du = 1081.11967090878m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48452661)-sin(0.48435693))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.884895548348582-0.884974570773774)×R²
    abs(-0.85730351--0.85749526)×7.90224251914218e-05×R²
    0.000191749999999935×7.90224251914218e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.90224251914218e-05×40589641000000     		ar = 1168672.0047773m²