Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 11912 / 13736
↖ ↑ ↗
← N 27.916766°
W 49.130859°		 ← 1 079.48 m → N 27.916766°
W 49.119873°		 →
↑
1 079.50 m
↓
↑
1 079.50 m
↓
N 27.907058°
W 49.130859°		 ← 1 079.57 m →
1 165 348 m²		 N 27.907058°
W 49.119873°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11912 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13736 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.363540649414062 y=0.419204711914062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.363540649414062 × 215)
    floor (0.363540649414062 × 32768)
    floor (11912.5)     		tx = 11912
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.419204711914062 × 215)
    floor (0.419204711914062 × 32768)
    floor (13736.5)     		ty = 13736
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11912 / 13736 ti = "15/11912/13736"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11912/13736.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11912 ÷ 215
    11912 ÷ 32768     		x = 0.363525390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13736 ÷ 215
    13736 ÷ 32768     		y = 0.419189453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.363525390625 × 2 - 1) × π
    -0.27294921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.85749526
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.419189453125 × 2 - 1) × π
    0.16162109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.507747640775635
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.85749526} λ = -0.85749526}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.507747640775635))-π/2
    2×atan(1.66154458190484)-π/2
    2×1.02901791059139-π/2
    2.05803582118279-1.57079632675     		φ = 0.48723949
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.85749526} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -49.130859°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48723949 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.916766°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11912 KachelY 13736 -0.85749526 0.48723949 -49.130859 27.916766
    Oben rechts KachelX + 1 11913 KachelY 13736 -0.85730351 0.48723949 -49.119873 27.916766
    Unten links KachelX 11912 KachelY + 1 13737 -0.85749526 0.48707005 -49.130859 27.907058
    Unten rechts KachelX + 1 11913 KachelY + 1 13737 -0.85730351 0.48707005 -49.119873 27.907058
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48723949-0.48707005) × R
    0.000169440000000021 × 6371000     		dl = 1079.50224000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48723949-0.48707005) × R
    0.000169440000000021 × 6371000     		dr = 1079.50224000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.85749526--0.85730351) × cos(0.48723949) × R
    0.000191749999999935 × 0.883628662561301 × 6371000     		do = 1079.47545660953m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.85749526--0.85730351) × cos(0.48707005) × R
    0.000191749999999935 × 0.88370797972056 × 6371000     		du = 1079.57235356447m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48723949)-sin(0.48707005))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.883628662561301-0.88370797972056)×R²
    abs(-0.85730351--0.85749526)×7.9317159258574e-05×R²
    0.000191749999999935×7.9317159258574e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.9317159258574e-05×40589641000000     		ar = 1165348.47646316m²