Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119119 / 118593
↖ ↑ ↗
← S 81.011623°
E147.170105°		 ← 47.72 m → S 81.011623°
E147.172852°		 →
↑
47.72 m
↓
↑
47.72 m
↓
S 81.012053°
E147.170105°		 ← 47.72 m →
2 277 m²		 S 81.012053°
E147.172852°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119119 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118593 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.908809661865234 y=0.904796600341797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.908809661865234 × 217)
    floor (0.908809661865234 × 131072)
    floor (119119.5)     		tx = 119119
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.904796600341797 × 217)
    floor (0.904796600341797 × 131072)
    floor (118593.5)     		ty = 118593
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119119 / 118593 ti = "17/119119/118593"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119119/118593.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119119 ÷ 217
    119119 ÷ 131072     		x = 0.908805847167969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118593 ÷ 217
    118593 ÷ 131072     		y = 0.904792785644531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.908805847167969 × 2 - 1) × π
    0.817611694335938 × 3.1415926535     		Λ = 2.56860289
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.904792785644531 × 2 - 1) × π
    -0.809585571289062 × 3.1415926535     		Φ = -2.54338808314132
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.56860289} λ = 2.56860289}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.54338808314132))-π/2
    2×atan(0.0785996460182817)-π/2
    2×0.0784383829929654-π/2
    0.156876765985931-1.57079632675     		φ = -1.41391956
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.56860289} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.170105°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41391956 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.011623°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119119 KachelY 118593 2.56860289 -1.41391956 147.170105 -81.011623
    Oben rechts KachelX + 1 119120 KachelY 118593 2.56865083 -1.41391956 147.172852 -81.011623
    Unten links KachelX 119119 KachelY + 1 118594 2.56860289 -1.41392705 147.170105 -81.012053
    Unten rechts KachelX + 1 119120 KachelY + 1 118594 2.56865083 -1.41392705 147.172852 -81.012053
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41391956--1.41392705) × R
    7.48999999999889e-06 × 6371000     		dl = 47.7187899999929m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41391956--1.41392705) × R
    7.48999999999889e-06 × 6371000     		dr = 47.7187899999929m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.56860289-2.56865083) × cos(-1.41391956) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.156234093553692 × 6371000     		do = 47.7179136368342m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.56860289-2.56865083) × cos(-1.41392705) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.156226695526094 × 6371000     		du = 47.7156540887806m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41391956)-sin(-1.41392705))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.156234093553692-0.156226695526094)×R²
    abs(2.56865083-2.56860289)×7.39802759791575e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.39802759791575e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.39802759791575e-06×40589641000000     		ar = 2276.98718871664m²