Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1191 / 917
↖ ↑ ↗
← N 18.479609°
E 29.355469°		 ← 18.538 km → N 18.479609°
E 29.531250°		 →
↑
18.547 km
↓
↑
18.547 km
↓
N 18.312811°
E 29.355469°		 ← 18.556 km →
343.996 km²		 N 18.312811°
E 29.531250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1191 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 917 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581787109375 y=0.447998046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581787109375 × 211)
    floor (0.581787109375 × 2048)
    floor (1191.5)     		tx = 1191
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.447998046875 × 211)
    floor (0.447998046875 × 2048)
    floor (917.5)     		ty = 917
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1191 / 917 ti = "11/1191/917"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1191/917.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1191 ÷ 211
    1191 ÷ 2048     		x = 0.58154296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 917 ÷ 211
    917 ÷ 2048     		y = 0.44775390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.58154296875 × 2 - 1) × π
    0.1630859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.51234958
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.44775390625 × 2 - 1) × π
    0.1044921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.328271888598145
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51234958} λ = 0.51234958}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.328271888598145))-π/2
    2×atan(1.38856645635753)-π/2
    2×0.946663174645813-π/2
    1.89332634929163-1.57079632675     		φ = 0.32253002
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51234958} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.355469°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.32253002 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.479609°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1191 KachelY 917 0.51234958 0.32253002 29.355469 18.479609
    Oben rechts KachelX + 1 1192 KachelY 917 0.51541754 0.32253002 29.531250 18.479609
    Unten links KachelX 1191 KachelY + 1 918 0.51234958 0.31961884 29.355469 18.312811
    Unten rechts KachelX + 1 1192 KachelY + 1 918 0.51541754 0.31961884 29.531250 18.312811
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.32253002-0.31961884) × R
    0.00291117999999996 × 6371000     		dl = 18547.1277799997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.32253002-0.31961884) × R
    0.00291117999999996 × 6371000     		dr = 18547.1277799997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51234958-0.51541754) × cos(0.32253002) × R
    0.00306795999999998 × 0.948436521214896 × 6371000     		do = 18538.11478763m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51234958-0.51541754) × cos(0.31961884) × R
    0.00306795999999998 × 0.949355249315924 × 6371000     		du = 18556.072222434m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.32253002)-sin(0.31961884))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.948436521214896-0.949355249315924)×R²
    abs(0.51541754-0.51234958)×0.000918728101028443×R²
    0.00306795999999998×0.000918728101028443×6371000²
    0.00306795999999998×0.000918728101028443×40589641000000     		ar = 343995556.131439m²