Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1191 / 913
↖ ↑ ↗
← N 19.145168°
E 29.355469°		 ← 18.465 km → N 19.145168°
E 29.531250°		 →
↑
18.474 km
↓
↑
18.474 km
↓
N 18.979026°
E 29.355469°		 ← 18.483 km →
341.295 km²		 N 18.979026°
E 29.531250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1191 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 913 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581787109375 y=0.446044921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581787109375 × 211)
    floor (0.581787109375 × 2048)
    floor (1191.5)     		tx = 1191
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.446044921875 × 211)
    floor (0.446044921875 × 2048)
    floor (913.5)     		ty = 913
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1191 / 913 ti = "11/1191/913"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1191/913.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1191 ÷ 211
    1191 ÷ 2048     		x = 0.58154296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 913 ÷ 211
    913 ÷ 2048     		y = 0.44580078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.58154296875 × 2 - 1) × π
    0.1630859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.51234958
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.44580078125 × 2 - 1) × π
    0.1083984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.340543734900879
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51234958} λ = 0.51234958}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.340543734900879))-π/2
    2×atan(1.40571171732486)-π/2
    2×0.952471273828794-π/2
    1.90494254765759-1.57079632675     		φ = 0.33414622
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51234958} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.355469°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33414622 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.145168°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1191 KachelY 913 0.51234958 0.33414622 29.355469 19.145168
    Oben rechts KachelX + 1 1192 KachelY 913 0.51541754 0.33414622 29.531250 19.145168
    Unten links KachelX 1191 KachelY + 1 914 0.51234958 0.33124649 29.355469 18.979026
    Unten rechts KachelX + 1 1192 KachelY + 1 914 0.51541754 0.33124649 29.531250 18.979026
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33414622-0.33124649) × R
    0.00289972999999999 × 6371000     		dl = 18474.1798299999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33414622-0.33124649) × R
    0.00289972999999999 × 6371000     		dr = 18474.1798299999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51234958-0.51541754) × cos(0.33414622) × R
    0.00306795999999998 × 0.944690661931055 × 6371000     		do = 18464.8983226069m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51234958-0.51541754) × cos(0.33124649) × R
    0.00306795999999998 × 0.945637692287967 × 6371000     		du = 18483.4089525448m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33414622)-sin(0.33124649))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.944690661931055-0.945637692287967)×R²
    abs(0.51541754-0.51234958)×0.000947030356911793×R²
    0.00306795999999998×0.000947030356911793×6371000²
    0.00306795999999998×0.000947030356911793×40589641000000     		ar = 341295075.654089m²