Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 1191 / 1005
↖ ↑ ↗
← N 79.327083°
W127.661133°		 ← 904.99 m → N 79.327083°
W127.617187°		 →
↑
905.32 m
↓
↑
905.32 m
↓
N 79.318942°
W127.661133°		 ← 905.67 m →
819 613 m²		 N 79.318942°
W127.617187°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1191 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1005 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.14544677734375 y=0.12274169921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.14544677734375 × 213)
    floor (0.14544677734375 × 8192)
    floor (1191.5)     		tx = 1191
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.12274169921875 × 213)
    floor (0.12274169921875 × 8192)
    floor (1005.5)     		ty = 1005
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1191 / 1005 ti = "13/1191/1005"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1191/1005.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1191 ÷ 213
    1191 ÷ 8192     		x = 0.1453857421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1005 ÷ 213
    1005 ÷ 8192     		y = 0.1226806640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1453857421875 × 2 - 1) × π
    -0.709228515625 × 3.1415926535     		Λ = -2.22810709
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1226806640625 × 2 - 1) × π
    0.754638671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.3707673076095
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.22810709} λ = -2.22810709}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.3707673076095))-π/2
    2×atan(10.7056036245215)-π/2
    2×1.47765756027929-π/2
    2.95531512055859-1.57079632675     		φ = 1.38451879
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.22810709} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -127.661133°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38451879 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.327083°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1191 KachelY 1005 -2.22810709 1.38451879 -127.661133 79.327083
    Oben rechts KachelX + 1 1192 KachelY 1005 -2.22734010 1.38451879 -127.617187 79.327083
    Unten links KachelX 1191 KachelY + 1 1006 -2.22810709 1.38437669 -127.661133 79.318942
    Unten rechts KachelX + 1 1192 KachelY + 1 1006 -2.22734010 1.38437669 -127.617187 79.318942
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38451879-1.38437669) × R
    0.000142099999999923 × 6371000     		dl = 905.319099999508m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38451879-1.38437669) × R
    0.000142099999999923 × 6371000     		dr = 905.319099999508m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.22810709--2.22734010) × cos(1.38451879) × R
    0.000766989999999801 × 0.185202120304105 × 6371000     		do = 904.988918159548m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.22810709--2.22734010) × cos(1.38437669) × R
    0.000766989999999801 × 0.185341760167756 × 6371000     		du = 905.671267416296m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38451879)-sin(1.38437669))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185202120304105-0.185341760167756)×R²
    abs(-2.22734010--2.22810709)×0.000139639863651203×R²
    0.000766989999999801×0.000139639863651203×6371000²
    0.000766989999999801×0.000139639863651203×40589641000000     		ar = 819612.626185839m²