Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119099 / 118588
↖ ↑ ↗
← S 81.009478°
E147.115173°		 ← 47.73 m → S 81.009478°
E147.117920°		 →
↑
47.72 m
↓
↑
47.72 m
↓
S 81.009907°
E147.115173°		 ← 47.73 m →
2 278 m²		 S 81.009907°
E147.117920°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119099 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118588 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.908657073974609 y=0.904758453369141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.908657073974609 × 217)
    floor (0.908657073974609 × 131072)
    floor (119099.5)     		tx = 119099
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.904758453369141 × 217)
    floor (0.904758453369141 × 131072)
    floor (118588.5)     		ty = 118588
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119099 / 118588 ti = "17/119099/118588"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119099/118588.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119099 ÷ 217
    119099 ÷ 131072     		x = 0.908653259277344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118588 ÷ 217
    118588 ÷ 131072     		y = 0.904754638671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.908653259277344 × 2 - 1) × π
    0.817306518554688 × 3.1415926535     		Λ = 2.56764415
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.904754638671875 × 2 - 1) × π
    -0.80950927734375 × 3.1415926535     		Φ = -2.54314839864322
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.56764415} λ = 2.56764415}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.54314839864322))-π/2
    2×atan(0.078618487392891)-π/2
    2×0.0784571086544953-π/2
    0.156914217308991-1.57079632675     		φ = -1.41388211
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.56764415} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.115173°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41388211 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.009478°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119099 KachelY 118588 2.56764415 -1.41388211 147.115173 -81.009478
    Oben rechts KachelX + 1 119100 KachelY 118588 2.56769209 -1.41388211 147.117920 -81.009478
    Unten links KachelX 119099 KachelY + 1 118589 2.56764415 -1.41388960 147.115173 -81.009907
    Unten rechts KachelX + 1 119100 KachelY + 1 118589 2.56769209 -1.41388960 147.117920 -81.009907
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41388211--1.41388960) × R
    7.48999999999889e-06 × 6371000     		dl = 47.7187899999929m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41388211--1.41388960) × R
    7.48999999999889e-06 × 6371000     		dr = 47.7187899999929m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.56764415-2.56769209) × cos(-1.41388211) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.156271083560202 × 6371000     		do = 47.7292113369451m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.56764415-2.56769209) × cos(-1.41388960) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.156263685576432 × 6371000     		du = 47.7269518022777m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41388211)-sin(-1.41388960))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.156271083560202-0.156263685576432)×R²
    abs(2.56769209-2.56764415)×7.39798377000223e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.39798377000223e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.39798377000223e-06×40589641000000     		ar = 2277.52630152699m²