Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119095 / 118596
↖ ↑ ↗
← S 81.012911°
E147.104187°		 ← 47.70 m → S 81.012911°
E147.106933°		 →
↑
47.72 m
↓
↑
47.72 m
↓
S 81.013340°
E147.104187°		 ← 47.70 m →
2 276 m²		 S 81.013340°
E147.106933°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119095 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118596 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.908626556396484 y=0.904819488525391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.908626556396484 × 217)
    floor (0.908626556396484 × 131072)
    floor (119095.5)     		tx = 119095
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.904819488525391 × 217)
    floor (0.904819488525391 × 131072)
    floor (118596.5)     		ty = 118596
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119095 / 118596 ti = "17/119095/118596"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119095/118596.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119095 ÷ 217
    119095 ÷ 131072     		x = 0.908622741699219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118596 ÷ 217
    118596 ÷ 131072     		y = 0.904815673828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.908622741699219 × 2 - 1) × π
    0.817245483398438 × 3.1415926535     		Λ = 2.56745241
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.904815673828125 × 2 - 1) × π
    -0.80963134765625 × 3.1415926535     		Φ = -2.54353189384018
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.56745241} λ = 2.56745241}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.54353189384018))-π/2
    2×atan(0.0785883433609987)-π/2
    2×0.0784271497237661-π/2
    0.156854299447532-1.57079632675     		φ = -1.41394203
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.56745241} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.104187°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41394203 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.012911°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119095 KachelY 118596 2.56745241 -1.41394203 147.104187 -81.012911
    Oben rechts KachelX + 1 119096 KachelY 118596 2.56750034 -1.41394203 147.106933 -81.012911
    Unten links KachelX 119095 KachelY + 1 118597 2.56745241 -1.41394952 147.104187 -81.013340
    Unten rechts KachelX + 1 119096 KachelY + 1 118597 2.56750034 -1.41394952 147.106933 -81.013340
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41394203--1.41394952) × R
    7.48999999999889e-06 × 6371000     		dl = 47.7187899999929m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41394203--1.41394952) × R
    7.48999999999889e-06 × 6371000     		dr = 47.7187899999929m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.56745241-2.56750034) × cos(-1.41394203) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.156211899444605 × 6371000     		do = 47.7011827245898m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.56745241-2.56750034) × cos(-1.41394952) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.156204501390716 × 6371000     		du = 47.698923639836m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41394203)-sin(-1.41394952))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.156211899444605-0.156204501390716)×R²
    abs(2.56750034-2.56745241)×7.3980538896623e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.3980538896623e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.3980538896623e-06×40589641000000     		ar = 2276.1888207835m²