Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119094 / 118595
↖ ↑ ↗
← S 81.012482°
E147.101440°		 ← 47.71 m → S 81.012482°
E147.104187°		 →
↑
47.72 m
↓
↑
47.72 m
↓
S 81.012911°
E147.101440°		 ← 47.71 m →
2 277 m²		 S 81.012911°
E147.104187°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119094 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118595 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.908618927001953 y=0.904811859130859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.908618927001953 × 217)
    floor (0.908618927001953 × 131072)
    floor (119094.5)     		tx = 119094
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.904811859130859 × 217)
    floor (0.904811859130859 × 131072)
    floor (118595.5)     		ty = 118595
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119094 / 118595 ti = "17/119094/118595"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119094/118595.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119094 ÷ 217
    119094 ÷ 131072     		x = 0.908615112304688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118595 ÷ 217
    118595 ÷ 131072     		y = 0.904808044433594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.908615112304688 × 2 - 1) × π
    0.817230224609375 × 3.1415926535     		Λ = 2.56740447
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.904808044433594 × 2 - 1) × π
    -0.809616088867188 × 3.1415926535     		Φ = -2.54348395694056
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.56740447} λ = 2.56740447}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.54348395694056))-π/2
    2×atan(0.078592110732823)-π/2
    2×0.0784308939695417-π/2
    0.156861787939083-1.57079632675     		φ = -1.41393454
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.56740447} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.101440°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41393454 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.012482°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119094 KachelY 118595 2.56740447 -1.41393454 147.101440 -81.012482
    Oben rechts KachelX + 1 119095 KachelY 118595 2.56745241 -1.41393454 147.104187 -81.012482
    Unten links KachelX 119094 KachelY + 1 118596 2.56740447 -1.41394203 147.101440 -81.012911
    Unten rechts KachelX + 1 119095 KachelY + 1 118596 2.56745241 -1.41394203 147.104187 -81.012911
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41393454--1.41394203) × R
    7.48999999999889e-06 × 6371000     		dl = 47.7187899999929m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41393454--1.41394203) × R
    7.48999999999889e-06 × 6371000     		dr = 47.7187899999929m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.56740447-2.56745241) × cos(-1.41393454) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.156219297489732 × 6371000     		do = 47.7133945380501m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.56740447-2.56745241) × cos(-1.41394203) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.156211899444605 × 6371000     		du = 47.7111349846429m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41393454)-sin(-1.41394203))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.156219297489732-0.156211899444605)×R²
    abs(2.56745241-2.56740447)×7.39804512614461e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.39804512614461e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.39804512614461e-06×40589641000000     		ar = 2276.77154268515m²