Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119032 / 118520
↖ ↑ ↗
← S 80.980244°
E146.931152°		 ← 47.88 m → S 80.980244°
E146.933899°		 →
↑
47.91 m
↓
↑
47.91 m
↓
S 80.980675°
E146.931152°		 ← 47.88 m →
2 294 m²		 S 80.980675°
E146.933899°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119032 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118520 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.908145904541016 y=0.904239654541016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.908145904541016 × 217)
    floor (0.908145904541016 × 131072)
    floor (119032.5)     		tx = 119032
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.904239654541016 × 217)
    floor (0.904239654541016 × 131072)
    floor (118520.5)     		ty = 118520
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119032 / 118520 ti = "17/119032/118520"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119032/118520.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119032 ÷ 217
    119032 ÷ 131072     		x = 0.90814208984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118520 ÷ 217
    118520 ÷ 131072     		y = 0.90423583984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.90814208984375 × 2 - 1) × π
    0.8162841796875 × 3.1415926535     		Λ = 2.56443238
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.90423583984375 × 2 - 1) × π
    -0.8084716796875 × 3.1415926535     		Φ = -2.53988868946906
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.56443238} λ = 2.56443238}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.53988868946906))-π/2
    2×atan(0.0788751789401062)-π/2
    2×0.0787122182494866-π/2
    0.157424436498973-1.57079632675     		φ = -1.41337189
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.56443238} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.931152°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41337189 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.980244°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119032 KachelY 118520 2.56443238 -1.41337189 146.931152 -80.980244
    Oben rechts KachelX + 1 119033 KachelY 118520 2.56448032 -1.41337189 146.933899 -80.980244
    Unten links KachelX 119032 KachelY + 1 118521 2.56443238 -1.41337941 146.931152 -80.980675
    Unten rechts KachelX + 1 119033 KachelY + 1 118521 2.56448032 -1.41337941 146.933899 -80.980675
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41337189--1.41337941) × R
    7.51999999981656e-06 × 6371000     		dl = 47.9099199988313m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41337189--1.41337941) × R
    7.51999999981656e-06 × 6371000     		dr = 47.9099199988313m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.56443238-2.56448032) × cos(-1.41337189) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.156775014738822 × 6371000     		do = 47.8831248900843m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.56443238-2.56448032) × cos(-1.41337941) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.156767587724133 × 6371000     		du = 47.8808564886268m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41337189)-sin(-1.41337941))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.156775014738822-0.156767587724133)×R²
    abs(2.56448032-2.56443238)×7.42701468922635e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.42701468922635e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.42701468922635e-06×40589641000000     		ar = 2294.02234335062m²