Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119021 / 118516
↖ ↑ ↗
← S 80.978522°
E146.900940°		 ← 47.88 m → S 80.978522°
E146.903686°		 →
↑
47.85 m
↓
↑
47.85 m
↓
S 80.978952°
E146.900940°		 ← 47.88 m →
2 291 m²		 S 80.978952°
E146.903686°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119021 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118516 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.908061981201172 y=0.904209136962891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.908061981201172 × 217)
    floor (0.908061981201172 × 131072)
    floor (119021.5)     		tx = 119021
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.904209136962891 × 217)
    floor (0.904209136962891 × 131072)
    floor (118516.5)     		ty = 118516
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119021 / 118516 ti = "17/119021/118516"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119021/118516.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119021 ÷ 217
    119021 ÷ 131072     		x = 0.908058166503906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118516 ÷ 217
    118516 ÷ 131072     		y = 0.904205322265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.908058166503906 × 2 - 1) × π
    0.816116333007812 × 3.1415926535     		Λ = 2.56390508
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.904205322265625 × 2 - 1) × π
    -0.80841064453125 × 3.1415926535     		Φ = -2.53969694187058
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.56390508} λ = 2.56390508}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.53969694187058))-π/2
    2×atan(0.0788903045163478)-π/2
    2×0.0787272502890579-π/2
    0.157454500578116-1.57079632675     		φ = -1.41334183
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.56390508} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.900940°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41334183 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.978522°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119021 KachelY 118516 2.56390508 -1.41334183 146.900940 -80.978522
    Oben rechts KachelX + 1 119022 KachelY 118516 2.56395301 -1.41334183 146.903686 -80.978522
    Unten links KachelX 119021 KachelY + 1 118517 2.56390508 -1.41334934 146.900940 -80.978952
    Unten rechts KachelX + 1 119022 KachelY + 1 118517 2.56395301 -1.41334934 146.903686 -80.978952
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41334183--1.41334934) × R
    7.50999999987734e-06 × 6371000     		dl = 47.8462099992185m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41334183--1.41334934) × R
    7.50999999987734e-06 × 6371000     		dr = 47.8462099992185m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.56390508-2.56395301) × cos(-1.41334183) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.156804702956326 × 6371000     		do = 47.8822024083201m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.56390508-2.56395301) × cos(-1.41334934) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.156797285853387 × 6371000     		du = 47.8799375067097m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41334183)-sin(-1.41334934))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.156804702956326-0.156797285853387)×R²
    abs(2.56395301-2.56390508)×7.41710293949982e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.41710293949982e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.41710293949982e-06×40589641000000     		ar = 2290.92772808344m²