Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119018 / 119534
↖ ↑ ↗
← S 81.406549°
E146.892700°		 ← 45.63 m → S 81.406549°
E146.895447°		 →
↑
45.62 m
↓
↑
45.62 m
↓
S 81.406960°
E146.892700°		 ← 45.63 m →
2 081 m²		 S 81.406960°
E146.895447°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119018 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119534 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.908039093017578 y=0.911975860595703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.908039093017578 × 217)
    floor (0.908039093017578 × 131072)
    floor (119018.5)     		tx = 119018
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.911975860595703 × 217)
    floor (0.911975860595703 × 131072)
    floor (119534.5)     		ty = 119534
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119018 / 119534 ti = "17/119018/119534"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119018/119534.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119018 ÷ 217
    119018 ÷ 131072     		x = 0.908035278320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119534 ÷ 217
    119534 ÷ 131072     		y = 0.911972045898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.908035278320312 × 2 - 1) × π
    0.816070556640625 × 3.1415926535     		Λ = 2.56376127
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.911972045898438 × 2 - 1) × π
    -0.823944091796875 × 3.1415926535     		Φ = -2.58849670568379
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.56376127} λ = 2.56376127}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.58849670568379))-π/2
    2×atan(0.0751329020963441)-π/2
    2×0.0749920051037024-π/2
    0.149984010207405-1.57079632675     		φ = -1.42081232
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.56376127} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.892700°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42081232 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.406549°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119018 KachelY 119534 2.56376127 -1.42081232 146.892700 -81.406549
    Oben rechts KachelX + 1 119019 KachelY 119534 2.56380920 -1.42081232 146.895447 -81.406549
    Unten links KachelX 119018 KachelY + 1 119535 2.56376127 -1.42081948 146.892700 -81.406960
    Unten rechts KachelX + 1 119019 KachelY + 1 119535 2.56380920 -1.42081948 146.895447 -81.406960
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42081232--1.42081948) × R
    7.16000000000605e-06 × 6371000     		dl = 45.6163600000385m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42081232--1.42081948) × R
    7.16000000000605e-06 × 6371000     		dr = 45.6163600000385m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.56376127-2.56380920) × cos(-1.42081232) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.149422318835838 × 6371000     		do = 45.6279026070468m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.56376127-2.56380920) × cos(-1.42081948) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.149415239213979 × 6371000     		du = 45.6257407593441m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42081232)-sin(-1.42081948))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.149422318835838-0.149415239213979)×R²
    abs(2.56380920-2.56376127)×7.07962185952926e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.07962185952926e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.07962185952926e-06×40589641000000     		ar = 2081.32952356624m²