Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119017 / 119519
↖ ↑ ↗
← S 81.400391°
E146.889954°		 ← 45.67 m → S 81.400391°
E146.892700°		 →
↑
45.62 m
↓
↑
45.62 m
↓
S 81.400802°
E146.889954°		 ← 45.67 m →
2 083 m²		 S 81.400802°
E146.892700°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119017 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119519 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.908031463623047 y=0.911861419677734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.908031463623047 × 217)
    floor (0.908031463623047 × 131072)
    floor (119017.5)     		tx = 119017
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.911861419677734 × 217)
    floor (0.911861419677734 × 131072)
    floor (119519.5)     		ty = 119519
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119017 / 119519 ti = "17/119017/119519"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119017/119519.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119017 ÷ 217
    119017 ÷ 131072     		x = 0.908027648925781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119519 ÷ 217
    119519 ÷ 131072     		y = 0.911857604980469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.908027648925781 × 2 - 1) × π
    0.816055297851562 × 3.1415926535     		Λ = 2.56371333
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.911857604980469 × 2 - 1) × π
    -0.823715209960938 × 3.1415926535     		Φ = -2.58777765218949
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.56371333} λ = 2.56371333}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.58777765218949))-π/2
    2×atan(0.0751869461000697)-π/2
    2×0.0750457455270014-π/2
    0.150091491054003-1.57079632675     		φ = -1.42070484
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.56371333} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.889954°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42070484 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.400391°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119017 KachelY 119519 2.56371333 -1.42070484 146.889954 -81.400391
    Oben rechts KachelX + 1 119018 KachelY 119519 2.56376127 -1.42070484 146.892700 -81.400391
    Unten links KachelX 119017 KachelY + 1 119520 2.56371333 -1.42071200 146.889954 -81.400802
    Unten rechts KachelX + 1 119018 KachelY + 1 119520 2.56376127 -1.42071200 146.892700 -81.400802
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42070484--1.42071200) × R
    7.16000000000605e-06 × 6371000     		dl = 45.6163600000385m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42070484--1.42071200) × R
    7.16000000000605e-06 × 6371000     		dr = 45.6163600000385m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.56371333-2.56376127) × cos(-1.42070484) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.149528591344894 × 6371000     		do = 45.6698806626418m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.56371333-2.56376127) × cos(-1.42071200) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.149521511838061 × 6371000     		du = 45.6677183990287m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42070484)-sin(-1.42071200))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.149528591344894-0.149521511838061)×R²
    abs(2.56376127-2.56371333)×7.07950683240255e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.07950683240255e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.07950683240255e-06×40589641000000     		ar = 2083.24440013603m²