Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119004 / 118545
↖ ↑ ↗
← S 80.991003°
E146.854248°		 ← 47.83 m → S 80.991003°
E146.856995°		 →
↑
47.85 m
↓
↑
47.85 m
↓
S 80.991433°
E146.854248°		 ← 47.82 m →
2 288 m²		 S 80.991433°
E146.856995°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119004 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118545 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.907932281494141 y=0.904430389404297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.907932281494141 × 217)
    floor (0.907932281494141 × 131072)
    floor (119004.5)     		tx = 119004
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.904430389404297 × 217)
    floor (0.904430389404297 × 131072)
    floor (118545.5)     		ty = 118545
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119004 / 118545 ti = "17/119004/118545"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119004/118545.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119004 ÷ 217
    119004 ÷ 131072     		x = 0.907928466796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118545 ÷ 217
    118545 ÷ 131072     		y = 0.904426574707031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.907928466796875 × 2 - 1) × π
    0.81585693359375 × 3.1415926535     		Λ = 2.56309015
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.904426574707031 × 2 - 1) × π
    -0.808853149414062 × 3.1415926535     		Φ = -2.54108711195956
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.56309015} λ = 2.56309015}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.54108711195956))-π/2
    2×atan(0.0787807097700176)-π/2
    2×0.0786183324711228-π/2
    0.157236664942246-1.57079632675     		φ = -1.41355966
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.56309015} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.854248°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41355966 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.991003°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119004 KachelY 118545 2.56309015 -1.41355966 146.854248 -80.991003
    Oben rechts KachelX + 1 119005 KachelY 118545 2.56313809 -1.41355966 146.856995 -80.991003
    Unten links KachelX 119004 KachelY + 1 118546 2.56309015 -1.41356717 146.854248 -80.991433
    Unten rechts KachelX + 1 119005 KachelY + 1 118546 2.56313809 -1.41356717 146.856995 -80.991433
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41355966--1.41356717) × R
    7.51000000009938e-06 × 6371000     		dl = 47.8462100006332m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41355966--1.41356717) × R
    7.51000000009938e-06 × 6371000     		dr = 47.8462100006332m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.56309015-2.56313809) × cos(-1.41355966) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.156589563875642 × 6371000     		do = 47.8264834229639m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.56309015-2.56313809) × cos(-1.41356717) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.156582146516367 × 6371000     		du = 47.8242179705184m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41355966)-sin(-1.41356717))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.156589563875642-0.156582146516367)×R²
    abs(2.56313809-2.56309015)×7.41735927503595e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.41735927503595e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.41735927503595e-06×40589641000000     		ar = 2288.26177283219m²