Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 1190 / 803
↖ ↑ ↗
← N 80.851891°
W127.705078°		 ← 776.89 m → N 80.851891°
W127.661133°		 →
↑
777.20 m
↓
↑
777.20 m
↓
N 80.844901°
W127.705078°		 ← 777.48 m →
604 026 m²		 N 80.844901°
W127.661133°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1190 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 803 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.14532470703125 y=0.09808349609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.14532470703125 × 213)
    floor (0.14532470703125 × 8192)
    floor (1190.5)     		tx = 1190
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.09808349609375 × 213)
    floor (0.09808349609375 × 8192)
    floor (803.5)     		ty = 803
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1190 / 803 ti = "13/1190/803"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1190/803.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1190 ÷ 213
    1190 ÷ 8192     		x = 0.145263671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 803 ÷ 213
    803 ÷ 8192     		y = 0.0980224609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.145263671875 × 2 - 1) × π
    -0.70947265625 × 3.1415926535     		Λ = -2.22887408
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0980224609375 × 2 - 1) × π
    0.803955078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.52569936718152
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.22887408} λ = -2.22887408}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.52569936718152))-π/2
    2×atan(12.4996340412729)-π/2
    2×1.49096401377345-π/2
    2.9819280275469-1.57079632675     		φ = 1.41113170
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.22887408} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -127.705078°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41113170 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.851891°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1190 KachelY 803 -2.22887408 1.41113170 -127.705078 80.851891
    Oben rechts KachelX + 1 1191 KachelY 803 -2.22810709 1.41113170 -127.661133 80.851891
    Unten links KachelX 1190 KachelY + 1 804 -2.22887408 1.41100971 -127.705078 80.844901
    Unten rechts KachelX + 1 1191 KachelY + 1 804 -2.22810709 1.41100971 -127.661133 80.844901
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41113170-1.41100971) × R
    0.000121990000000016 × 6371000     		dl = 777.198290000103m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41113170-1.41100971) × R
    0.000121990000000016 × 6371000     		dr = 777.198290000103m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.22887408--2.22810709) × cos(1.41113170) × R
    0.000766990000000245 × 0.158987108082589 × 6371000     		do = 776.889436842323m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.22887408--2.22810709) × cos(1.41100971) × R
    0.000766990000000245 × 0.159107545266883 × 6371000     		du = 777.477952335242m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41113170)-sin(1.41100971))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.158987108082589-0.159107545266883)×R²
    abs(-2.22810709--2.22887408)×0.00012043718429397×R²
    0.000766990000000245×0.00012043718429397×6371000²
    0.000766990000000245×0.00012043718429397×40589641000000     		ar = 604025.839199786m²