Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 118998 / 118529
↖ ↑ ↗
← S 80.984119°
E146.837769°		 ← 47.85 m → S 80.984119°
E146.840515°		 →
↑
47.91 m
↓
↑
47.91 m
↓
S 80.984549°
E146.837769°		 ← 47.85 m →
2 293 m²		 S 80.984549°
E146.840515°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 118998 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118529 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.907886505126953 y=0.904308319091797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.907886505126953 × 217)
    floor (0.907886505126953 × 131072)
    floor (118998.5)     		tx = 118998
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.904308319091797 × 217)
    floor (0.904308319091797 × 131072)
    floor (118529.5)     		ty = 118529
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 118998 / 118529 ti = "17/118998/118529"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/118998/118529.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 118998 ÷ 217
    118998 ÷ 131072     		x = 0.907882690429688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118529 ÷ 217
    118529 ÷ 131072     		y = 0.904304504394531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.907882690429688 × 2 - 1) × π
    0.815765380859375 × 3.1415926535     		Λ = 2.56280253
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.904304504394531 × 2 - 1) × π
    -0.808609008789062 × 3.1415926535     		Φ = -2.54032012156564
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.56280253} λ = 2.56280253}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.54032012156564))-π/2
    2×atan(0.078841156995895)-π/2
    2×0.0786784065669677-π/2
    0.157356813133935-1.57079632675     		φ = -1.41343951
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.56280253} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.837769°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41343951 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.984119°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 118998 KachelY 118529 2.56280253 -1.41343951 146.837769 -80.984119
    Oben rechts KachelX + 1 118999 KachelY 118529 2.56285046 -1.41343951 146.840515 -80.984119
    Unten links KachelX 118998 KachelY + 1 118530 2.56280253 -1.41344703 146.837769 -80.984549
    Unten rechts KachelX + 1 118999 KachelY + 1 118530 2.56285046 -1.41344703 146.840515 -80.984549
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41343951--1.41344703) × R
    7.52000000003861e-06 × 6371000     		dl = 47.909920000246m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41343951--1.41344703) × R
    7.52000000003861e-06 × 6371000     		dr = 47.909920000246m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.56280253-2.56285046) × cos(-1.41343951) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.1567082305462 × 6371000     		do = 47.852743397325m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.56280253-2.56285046) × cos(-1.41344703) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.156700803451809 × 6371000     		du = 47.8504754447047m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41343951)-sin(-1.41344703))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.1567082305462-0.156700803451809)×R²
    abs(2.56285046-2.56280253)×7.42709439105482e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.42709439105482e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.42709439105482e-06×40589641000000     		ar = 2292.56677931103m²