Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 118997 / 118533
↖ ↑ ↗
← S 80.985840°
E146.835022°		 ← 47.85 m → S 80.985840°
E146.837769°		 →
↑
47.85 m
↓
↑
47.85 m
↓
S 80.986271°
E146.835022°		 ← 47.85 m →
2 290 m²		 S 80.986271°
E146.837769°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 118997 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118533 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.907878875732422 y=0.904338836669922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.907878875732422 × 217)
    floor (0.907878875732422 × 131072)
    floor (118997.5)     		tx = 118997
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.904338836669922 × 217)
    floor (0.904338836669922 × 131072)
    floor (118533.5)     		ty = 118533
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 118997 / 118533 ti = "17/118997/118533"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/118997/118533.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 118997 ÷ 217
    118997 ÷ 131072     		x = 0.907875061035156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118533 ÷ 217
    118533 ÷ 131072     		y = 0.904335021972656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.907875061035156 × 2 - 1) × π
    0.815750122070312 × 3.1415926535     		Λ = 2.56275459
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.904335021972656 × 2 - 1) × π
    -0.808670043945312 × 3.1415926535     		Φ = -2.54051186916412
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.56275459} λ = 2.56275459}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.54051186916412))-π/2
    2×atan(0.078826040842669)-π/2
    2×0.078663383776424-π/2
    0.157326767552848-1.57079632675     		φ = -1.41346956
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.56275459} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.835022°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41346956 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.985840°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 118997 KachelY 118533 2.56275459 -1.41346956 146.835022 -80.985840
    Oben rechts KachelX + 1 118998 KachelY 118533 2.56280253 -1.41346956 146.837769 -80.985840
    Unten links KachelX 118997 KachelY + 1 118534 2.56275459 -1.41347707 146.835022 -80.986271
    Unten rechts KachelX + 1 118998 KachelY + 1 118534 2.56280253 -1.41347707 146.837769 -80.986271
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41346956--1.41347707) × R
    7.50999999987734e-06 × 6371000     		dl = 47.8462099992185m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41346956--1.41347707) × R
    7.50999999987734e-06 × 6371000     		dr = 47.8462099992185m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.56275459-2.56280253) × cos(-1.41346956) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.156678551744958 × 6371000     		do = 47.8536626088008m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.56275459-2.56280253) × cos(-1.41347707) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.156671134491668 × 6371000     		du = 47.8513971887257m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41346956)-sin(-1.41347707))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.156678551744958-0.156671134491668)×R²
    abs(2.56280253-2.56275459)×7.41725329070353e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.41725329070353e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.41725329070353e-06×40589641000000     		ar = 2289.56219443979m²