Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 118993 / 118528
↖ ↑ ↗
← S 80.983688°
E146.824035°		 ← 47.86 m → S 80.983688°
E146.826782°		 →
↑
47.85 m
↓
↑
47.85 m
↓
S 80.984119°
E146.824035°		 ← 47.86 m →
2 290 m²		 S 80.984119°
E146.826782°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 118993 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118528 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.907848358154297 y=0.904300689697266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.907848358154297 × 217)
    floor (0.907848358154297 × 131072)
    floor (118993.5)     		tx = 118993
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.904300689697266 × 217)
    floor (0.904300689697266 × 131072)
    floor (118528.5)     		ty = 118528
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 118993 / 118528 ti = "17/118993/118528"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/118993/118528.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 118993 ÷ 217
    118993 ÷ 131072     		x = 0.907844543457031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118528 ÷ 217
    118528 ÷ 131072     		y = 0.904296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.907844543457031 × 2 - 1) × π
    0.815689086914062 × 3.1415926535     		Λ = 2.56256284
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.904296875 × 2 - 1) × π
    -0.80859375 × 3.1415926535     		Φ = -2.54027218466602
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.56256284} λ = 2.56256284}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.54027218466602))-π/2
    2×atan(0.0788449364871116)-π/2
    2×0.0786821627091556-π/2
    0.157364325418311-1.57079632675     		φ = -1.41343200
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.56256284} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.824035°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41343200 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.983688°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 118993 KachelY 118528 2.56256284 -1.41343200 146.824035 -80.983688
    Oben rechts KachelX + 1 118994 KachelY 118528 2.56261078 -1.41343200 146.826782 -80.983688
    Unten links KachelX 118993 KachelY + 1 118529 2.56256284 -1.41343951 146.824035 -80.984119
    Unten rechts KachelX + 1 118994 KachelY + 1 118529 2.56261078 -1.41343951 146.826782 -80.984119
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41343200--1.41343951) × R
    7.50999999987734e-06 × 6371000     		dl = 47.8462099992185m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41343200--1.41343951) × R
    7.50999999987734e-06 × 6371000     		dr = 47.8462099992185m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.56256284-2.56261078) × cos(-1.41343200) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.156715647755291 × 6371000     		do = 47.8649926852078m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.56256284-2.56261078) × cos(-1.41343951) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.1567082305462 × 6371000     		du = 47.8627272786324m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41343200)-sin(-1.41343951))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.156715647755291-0.1567082305462)×R²
    abs(2.56261078-2.56256284)×7.41720909130938e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.41720909130938e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.41720909130938e-06×40589641000000     		ar = 2290.10429608991m²