Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 118991 / 118527
↖ ↑ ↗
← S 80.983258°
E146.818543°		 ← 47.87 m → S 80.983258°
E146.821289°		 →
↑
47.85 m
↓
↑
47.85 m
↓
S 80.983688°
E146.818543°		 ← 47.86 m →
2 290 m²		 S 80.983688°
E146.821289°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 118991 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118527 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.907833099365234 y=0.904293060302734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.907833099365234 × 217)
    floor (0.907833099365234 × 131072)
    floor (118991.5)     		tx = 118991
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.904293060302734 × 217)
    floor (0.904293060302734 × 131072)
    floor (118527.5)     		ty = 118527
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 118991 / 118527 ti = "17/118991/118527"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/118991/118527.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 118991 ÷ 217
    118991 ÷ 131072     		x = 0.907829284667969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118527 ÷ 217
    118527 ÷ 131072     		y = 0.904289245605469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.907829284667969 × 2 - 1) × π
    0.815658569335938 × 3.1415926535     		Λ = 2.56246697
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.904289245605469 × 2 - 1) × π
    -0.808578491210938 × 3.1415926535     		Φ = -2.5402242477664
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.56246697} λ = 2.56246697}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.5402242477664))-π/2
    2×atan(0.0788487161595097)-π/2
    2×0.0786859190291806-π/2
    0.157371838058361-1.57079632675     		φ = -1.41342449
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.56246697} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.818543°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41342449 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.983258°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 118991 KachelY 118527 2.56246697 -1.41342449 146.818543 -80.983258
    Oben rechts KachelX + 1 118992 KachelY 118527 2.56251491 -1.41342449 146.821289 -80.983258
    Unten links KachelX 118991 KachelY + 1 118528 2.56246697 -1.41343200 146.818543 -80.983688
    Unten rechts KachelX + 1 118992 KachelY + 1 118528 2.56251491 -1.41343200 146.821289 -80.983688
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41342449--1.41343200) × R
    7.51000000009938e-06 × 6371000     		dl = 47.8462100006332m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41342449--1.41343200) × R
    7.51000000009938e-06 × 6371000     		dr = 47.8462100006332m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.56246697-2.56251491) × cos(-1.41342449) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.156723064955544 × 6371000     		do = 47.8672580890838m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.56246697-2.56251491) × cos(-1.41343200) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.156715647755291 × 6371000     		du = 47.8649926852078m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41342449)-sin(-1.41343200))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.156723064955544-0.156715647755291)×R²
    abs(2.56251491-2.56246697)×7.41720025276837e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.41720025276837e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.41720025276837e-06×40589641000000     		ar = 2290.21268716884m²