Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 118960 / 118960
↖ ↑ ↗
← S 81.167746°
E146.733399°		 ← 46.89 m → S 81.167746°
E146.736145°		 →
↑
46.89 m
↓
↑
46.89 m
↓
S 81.168168°
E146.733399°		 ← 46.88 m →
2 198 m²		 S 81.168168°
E146.736145°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 118960 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118960 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.907596588134766 y=0.907596588134766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.907596588134766 × 217)
    floor (0.907596588134766 × 131072)
    floor (118960.5)     		tx = 118960
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.907596588134766 × 217)
    floor (0.907596588134766 × 131072)
    floor (118960.5)     		ty = 118960
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 118960 / 118960 ti = "17/118960/118960"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/118960/118960.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 118960 ÷ 217
    118960 ÷ 131072     		x = 0.9075927734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118960 ÷ 217
    118960 ÷ 131072     		y = 0.9075927734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9075927734375 × 2 - 1) × π
    0.815185546875 × 3.1415926535     		Λ = 2.56098093
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9075927734375 × 2 - 1) × π
    -0.815185546875 × 3.1415926535     		Φ = -2.56098092530188
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.56098093} λ = 2.56098093}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.56098092530188))-π/2
    2×atan(0.0772289474471549)-π/2
    2×0.0770759554340172-π/2
    0.154151910868034-1.57079632675     		φ = -1.41664442
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.56098093} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.733399°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41664442 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.167746°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 118960 KachelY 118960 2.56098093 -1.41664442 146.733399 -81.167746
    Oben rechts KachelX + 1 118961 KachelY 118960 2.56102886 -1.41664442 146.736145 -81.167746
    Unten links KachelX 118960 KachelY + 1 118961 2.56098093 -1.41665178 146.733399 -81.168168
    Unten rechts KachelX + 1 118961 KachelY + 1 118961 2.56102886 -1.41665178 146.736145 -81.168168
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41664442--1.41665178) × R
    7.36000000012282e-06 × 6371000     		dl = 46.8905600007825m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41664442--1.41665178) × R
    7.36000000012282e-06 × 6371000     		dr = 46.8905600007825m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.56098093-2.56102886) × cos(-1.41664442) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.153542118005905 × 6371000     		do = 46.8859328448115m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.56098093-2.56102886) × cos(-1.41665178) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.15353484527586 × 6371000     		du = 46.8837120292013m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41664442)-sin(-1.41665178))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.153542118005905-0.15353484527586)×R²
    abs(2.56102886-2.56098093)×7.27273004527684e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.27273004527684e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.27273004527684e-06×40589641000000     		ar = 2198.45557958555m²