Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 118956 / 116836
↖ ↑ ↗
← S 80.225453°
E146.722412°		 ← 51.84 m → S 80.225453°
E146.725158°		 →
↑
51.86 m
↓
↑
51.86 m
↓
S 80.225919°
E146.722412°		 ← 51.84 m →
2 688 m²		 S 80.225919°
E146.725158°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 118956 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 116836 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.907566070556641 y=0.891391754150391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.907566070556641 × 217)
    floor (0.907566070556641 × 131072)
    floor (118956.5)     		tx = 118956
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.891391754150391 × 217)
    floor (0.891391754150391 × 131072)
    floor (116836.5)     		ty = 116836
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 118956 / 116836 ti = "17/118956/116836"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/118956/116836.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 118956 ÷ 217
    118956 ÷ 131072     		x = 0.907562255859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 116836 ÷ 217
    116836 ÷ 131072     		y = 0.891387939453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.907562255859375 × 2 - 1) × π
    0.81512451171875 × 3.1415926535     		Λ = 2.56078918
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.891387939453125 × 2 - 1) × π
    -0.78277587890625 × 3.1415926535     		Φ = -2.45916295050888
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.56078918} λ = 2.56078918}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.45916295050888))-π/2
    2×atan(0.0855064941879832)-π/2
    2×0.0852990140049933-π/2
    0.170598028009987-1.57079632675     		φ = -1.40019830
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.56078918} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.722412°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40019830 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.225453°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 118956 KachelY 116836 2.56078918 -1.40019830 146.722412 -80.225453
    Oben rechts KachelX + 1 118957 KachelY 116836 2.56083711 -1.40019830 146.725158 -80.225453
    Unten links KachelX 118956 KachelY + 1 116837 2.56078918 -1.40020644 146.722412 -80.225919
    Unten rechts KachelX + 1 118957 KachelY + 1 116837 2.56083711 -1.40020644 146.725158 -80.225919
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40019830--1.40020644) × R
    8.14000000004533e-06 × 6371000     		dl = 51.8599400002888m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40019830--1.40020644) × R
    8.14000000004533e-06 × 6371000     		dr = 51.8599400002888m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.56078918-2.56083711) × cos(-1.40019830) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.169771724878265 × 6371000     		do = 51.8418385454603m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.56078918-2.56083711) × cos(-1.40020644) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.169763703037642 × 6371000     		du = 51.8393889799232m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40019830)-sin(-1.40020644))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.169771724878265-0.169763703037642)×R²
    abs(2.56083711-2.56078918)×8.02184062334566e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.02184062334566e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.02184062334566e-06×40589641000000     		ar = 2688.45111932681m²