Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 118955 / 118890
↖ ↑ ↗
← S 81.138177°
E146.719665°		 ← 47.05 m → S 81.138177°
E146.722412°		 →
↑
47.02 m
↓
↑
47.02 m
↓
S 81.138600°
E146.719665°		 ← 47.05 m →
2 212 m²		 S 81.138600°
E146.722412°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 118955 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118890 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.907558441162109 y=0.907062530517578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.907558441162109 × 217)
    floor (0.907558441162109 × 131072)
    floor (118955.5)     		tx = 118955
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.907062530517578 × 217)
    floor (0.907062530517578 × 131072)
    floor (118890.5)     		ty = 118890
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 118955 / 118890 ti = "17/118955/118890"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/118955/118890.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 118955 ÷ 217
    118955 ÷ 131072     		x = 0.907554626464844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118890 ÷ 217
    118890 ÷ 131072     		y = 0.907058715820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.907554626464844 × 2 - 1) × π
    0.815109252929688 × 3.1415926535     		Λ = 2.56074124
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.907058715820312 × 2 - 1) × π
    -0.814117431640625 × 3.1415926535     		Φ = -2.55762534232848
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.56074124} λ = 2.56074124}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.55762534232848))-π/2
    2×atan(0.0774885308715476)-π/2
    2×0.0773339946536632-π/2
    0.154667989307326-1.57079632675     		φ = -1.41612834
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.56074124} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.719665°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41612834 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.138177°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 118955 KachelY 118890 2.56074124 -1.41612834 146.719665 -81.138177
    Oben rechts KachelX + 1 118956 KachelY 118890 2.56078918 -1.41612834 146.722412 -81.138177
    Unten links KachelX 118955 KachelY + 1 118891 2.56074124 -1.41613572 146.719665 -81.138600
    Unten rechts KachelX + 1 118956 KachelY + 1 118891 2.56078918 -1.41613572 146.722412 -81.138600
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41612834--1.41613572) × R
    7.38000000000127e-06 × 6371000     		dl = 47.0179800000081m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41612834--1.41613572) × R
    7.38000000000127e-06 × 6371000     		dr = 47.0179800000081m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.56074124-2.56078918) × cos(-1.41612834) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.154052057913286 × 6371000     		do = 47.0514637866573m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.56074124-2.56078918) × cos(-1.41613572) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.154044766006125 × 6371000     		du = 47.0492366505166m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41612834)-sin(-1.41613572))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.154052057913286-0.154044766006125)×R²
    abs(2.56078918-2.56074124)×7.2919071613109e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.2919071613109e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.2919071613109e-06×40589641000000     		ar = 2212.21242567562m²