Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 118953 / 118889
↖ ↑ ↗
← S 81.137754°
E146.714173°		 ← 47.04 m → S 81.137754°
E146.716919°		 →
↑
47.08 m
↓
↑
47.08 m
↓
S 81.138177°
E146.714173°		 ← 47.04 m →
2 215 m²		 S 81.138177°
E146.716919°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 118953 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118889 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.907543182373047 y=0.907054901123047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.907543182373047 × 217)
    floor (0.907543182373047 × 131072)
    floor (118953.5)     		tx = 118953
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.907054901123047 × 217)
    floor (0.907054901123047 × 131072)
    floor (118889.5)     		ty = 118889
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 118953 / 118889 ti = "17/118953/118889"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/118953/118889.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 118953 ÷ 217
    118953 ÷ 131072     		x = 0.907539367675781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118889 ÷ 217
    118889 ÷ 131072     		y = 0.907051086425781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.907539367675781 × 2 - 1) × π
    0.815078735351562 × 3.1415926535     		Λ = 2.56064537
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.907051086425781 × 2 - 1) × π
    -0.814102172851562 × 3.1415926535     		Φ = -2.55757740542886
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.56064537} λ = 2.56064537}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.55757740542886))-π/2
    2×atan(0.0774922455205074)-π/2
    2×0.0773376871301866-π/2
    0.154675374260373-1.57079632675     		φ = -1.41612095
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.56064537} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.714173°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41612095 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.137754°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 118953 KachelY 118889 2.56064537 -1.41612095 146.714173 -81.137754
    Oben rechts KachelX + 1 118954 KachelY 118889 2.56069330 -1.41612095 146.716919 -81.137754
    Unten links KachelX 118953 KachelY + 1 118890 2.56064537 -1.41612834 146.714173 -81.138177
    Unten rechts KachelX + 1 118954 KachelY + 1 118890 2.56069330 -1.41612834 146.716919 -81.138177
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41612095--1.41612834) × R
    7.3899999999405e-06 × 6371000     		dl = 47.0816899996209m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41612095--1.41612834) × R
    7.3899999999405e-06 × 6371000     		dr = 47.0816899996209m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.56064537-2.56069330) × cos(-1.41612095) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.154059359692673 × 6371000     		do = 47.0438788162835m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.56064537-2.56069330) × cos(-1.41612834) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.154052057913286 × 6371000     		du = 47.0416491301073m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41612095)-sin(-1.41612834))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.154059359692673-0.154052057913286)×R²
    abs(2.56069330-2.56064537)×7.30177938687571e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.30177938687571e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.30177938687571e-06×40589641000000     		ar = 2214.85283008944m²