Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 118952 / 119016
↖ ↑ ↗
← S 81.191331°
E146.711426°		 ← 46.77 m → S 81.191331°
E146.714173°		 →
↑
46.76 m
↓
↑
46.76 m
↓
S 81.191752°
E146.711426°		 ← 46.77 m →
2 187 m²		 S 81.191752°
E146.714173°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 118952 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119016 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.907535552978516 y=0.908023834228516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.907535552978516 × 217)
    floor (0.907535552978516 × 131072)
    floor (118952.5)     		tx = 118952
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.908023834228516 × 217)
    floor (0.908023834228516 × 131072)
    floor (119016.5)     		ty = 119016
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 118952 / 119016 ti = "17/118952/119016"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/118952/119016.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 118952 ÷ 217
    118952 ÷ 131072     		x = 0.90753173828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119016 ÷ 217
    119016 ÷ 131072     		y = 0.90802001953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.90753173828125 × 2 - 1) × π
    0.8150634765625 × 3.1415926535     		Λ = 2.56059743
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.90802001953125 × 2 - 1) × π
    -0.8160400390625 × 3.1415926535     		Φ = -2.5636653916806
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.56059743} λ = 2.56059743}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.5636653916806))-π/2
    2×atan(0.0770219069552227)-π/2
    2×0.0768701392059597-π/2
    0.153740278411919-1.57079632675     		φ = -1.41705605
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.56059743} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.711426°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41705605 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.191331°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 118952 KachelY 119016 2.56059743 -1.41705605 146.711426 -81.191331
    Oben rechts KachelX + 1 118953 KachelY 119016 2.56064537 -1.41705605 146.714173 -81.191331
    Unten links KachelX 118952 KachelY + 1 119017 2.56059743 -1.41706339 146.711426 -81.191752
    Unten rechts KachelX + 1 118953 KachelY + 1 119017 2.56064537 -1.41706339 146.714173 -81.191752
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41705605--1.41706339) × R
    7.34000000002233e-06 × 6371000     		dl = 46.7631400001423m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41705605--1.41706339) × R
    7.34000000002233e-06 × 6371000     		dr = 46.7631400001423m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.56059743-2.56064537) × cos(-1.41705605) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.153135356075029 × 6371000     		do = 46.7714794493485m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.56059743-2.56064537) × cos(-1.41706339) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.153128102644567 × 6371000     		du = 46.7692640649822m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41705605)-sin(-1.41706339))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.153135356075029-0.153128102644567)×R²
    abs(2.56064537-2.56059743)×7.25343046173443e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.25343046173443e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.25343046173443e-06×40589641000000     		ar = 2187.12944222865m²