Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 118952 / 116840
↖ ↑ ↗
← S 80.227318°
E146.711426°		 ← 51.84 m → S 80.227318°
E146.714173°		 →
↑
51.86 m
↓
↑
51.86 m
↓
S 80.227784°
E146.711426°		 ← 51.84 m →
2 689 m²		 S 80.227784°
E146.714173°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 118952 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 116840 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.907535552978516 y=0.891422271728516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.907535552978516 × 217)
    floor (0.907535552978516 × 131072)
    floor (118952.5)     		tx = 118952
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.891422271728516 × 217)
    floor (0.891422271728516 × 131072)
    floor (116840.5)     		ty = 116840
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 118952 / 116840 ti = "17/118952/116840"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/118952/116840.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 118952 ÷ 217
    118952 ÷ 131072     		x = 0.90753173828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 116840 ÷ 217
    116840 ÷ 131072     		y = 0.89141845703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.90753173828125 × 2 - 1) × π
    0.8150634765625 × 3.1415926535     		Λ = 2.56059743
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.89141845703125 × 2 - 1) × π
    -0.7828369140625 × 3.1415926535     		Φ = -2.45935469810736
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.56059743} λ = 2.56059743}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.45935469810736))-π/2
    2×atan(0.0854901000948824)-π/2
    2×0.0852827388823689-π/2
    0.170565477764738-1.57079632675     		φ = -1.40023085
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.56059743} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.711426°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40023085 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.227318°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 118952 KachelY 116840 2.56059743 -1.40023085 146.711426 -80.227318
    Oben rechts KachelX + 1 118953 KachelY 116840 2.56064537 -1.40023085 146.714173 -80.227318
    Unten links KachelX 118952 KachelY + 1 116841 2.56059743 -1.40023899 146.711426 -80.227784
    Unten rechts KachelX + 1 118953 KachelY + 1 116841 2.56064537 -1.40023899 146.714173 -80.227784
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40023085--1.40023899) × R
    8.14000000004533e-06 × 6371000     		dl = 51.8599400002888m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40023085--1.40023899) × R
    8.14000000004533e-06 × 6371000     		dr = 51.8599400002888m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.56059743-2.56064537) × cos(-1.40023085) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.169739647303173 × 6371000     		do = 51.8428573848765m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.56059743-2.56064537) × cos(-1.40023899) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.169731625417573 × 6371000     		du = 51.8404072945309m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40023085)-sin(-1.40023899))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.169739647303173-0.169731625417573)×R²
    abs(2.56064537-2.56059743)×8.02188560025674e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.02188560025674e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.02188560025674e-06×40589641000000     		ar = 2688.50394258486m²