Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 118950 / 119464
↖ ↑ ↗
← S 81.377773°
E146.705933°		 ← 45.78 m → S 81.377773°
E146.708679°		 →
↑
45.81 m
↓
↑
45.81 m
↓
S 81.378185°
E146.705933°		 ← 45.78 m →
2 097 m²		 S 81.378185°
E146.708679°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 118950 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119464 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.907520294189453 y=0.911441802978516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.907520294189453 × 217)
    floor (0.907520294189453 × 131072)
    floor (118950.5)     		tx = 118950
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.911441802978516 × 217)
    floor (0.911441802978516 × 131072)
    floor (119464.5)     		ty = 119464
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 118950 / 119464 ti = "17/118950/119464"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/118950/119464.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 118950 ÷ 217
    118950 ÷ 131072     		x = 0.907516479492188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119464 ÷ 217
    119464 ÷ 131072     		y = 0.91143798828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.907516479492188 × 2 - 1) × π
    0.815032958984375 × 3.1415926535     		Λ = 2.56050156
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.91143798828125 × 2 - 1) × π
    -0.8228759765625 × 3.1415926535     		Φ = -2.58514112271039
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.56050156} λ = 2.56050156}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.58514112271039))-π/2
    2×atan(0.0753854402527663)-π/2
    2×0.0752431209530019-π/2
    0.150486241906004-1.57079632675     		φ = -1.42031008
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.56050156} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.705933°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42031008 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.377773°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 118950 KachelY 119464 2.56050156 -1.42031008 146.705933 -81.377773
    Oben rechts KachelX + 1 118951 KachelY 119464 2.56054949 -1.42031008 146.708679 -81.377773
    Unten links KachelX 118950 KachelY + 1 119465 2.56050156 -1.42031727 146.705933 -81.378185
    Unten rechts KachelX + 1 118951 KachelY + 1 119465 2.56054949 -1.42031727 146.708679 -81.378185
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42031008--1.42031727) × R
    7.19000000004577e-06 × 6371000     		dl = 45.8074900002916m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42031008--1.42031727) × R
    7.19000000004577e-06 × 6371000     		dr = 45.8074900002916m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.56050156-2.56054949) × cos(-1.42031008) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.149918901555914 × 6371000     		do = 45.7795401145119m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.56050156-2.56054949) × cos(-1.42031727) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.149911792811281 × 6371000     		du = 45.7773693738203m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42031008)-sin(-1.42031727))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.149918901555914-0.149911792811281)×R²
    abs(2.56054949-2.56050156)×7.10874463219491e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.10874463219491e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.10874463219491e-06×40589641000000     		ar = 2096.99610777161m²