Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 11895 / 13767
↖ ↑ ↗
← N 27.615406°
W 49.317627°		 ← 1 082.47 m → N 27.615406°
W 49.306641°		 →
↑
1 082.50 m
↓
↑
1 082.50 m
↓
N 27.605671°
W 49.317627°		 ← 1 082.57 m →
1 171 821 m²		 N 27.605671°
W 49.306641°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11895 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13767 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.363021850585938 y=0.420150756835938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.363021850585938 × 215)
    floor (0.363021850585938 × 32768)
    floor (11895.5)     		tx = 11895
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.420150756835938 × 215)
    floor (0.420150756835938 × 32768)
    floor (13767.5)     		ty = 13767
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11895 / 13767 ti = "15/11895/13767"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11895/13767.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11895 ÷ 215
    11895 ÷ 32768     		x = 0.363006591796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13767 ÷ 215
    13767 ÷ 32768     		y = 0.420135498046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.363006591796875 × 2 - 1) × π
    -0.27398681640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.86075497
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.420135498046875 × 2 - 1) × π
    0.15972900390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.501803465222748
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.86075497} λ = -0.86075497}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.501803465222748))-π/2
    2×atan(1.65169736500849)-π/2
    2×1.02638804299553-π/2
    2.05277608599105-1.57079632675     		φ = 0.48197976
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.86075497} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -49.317627°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48197976 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.615406°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11895 KachelY 13767 -0.86075497 0.48197976 -49.317627 27.615406
    Oben rechts KachelX + 1 11896 KachelY 13767 -0.86056322 0.48197976 -49.306641 27.615406
    Unten links KachelX 11895 KachelY + 1 13768 -0.86075497 0.48180985 -49.317627 27.605671
    Unten rechts KachelX + 1 11896 KachelY + 1 13768 -0.86056322 0.48180985 -49.306641 27.605671
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48197976-0.48180985) × R
    0.000169909999999995 × 6371000     		dl = 1082.49660999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48197976-0.48180985) × R
    0.000169909999999995 × 6371000     		dr = 1082.49660999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.86075497--0.86056322) × cos(0.48197976) × R
    0.000191750000000046 × 0.88607897317051 × 6371000     		do = 1082.46885222505m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.86075497--0.86056322) × cos(0.48180985) × R
    0.000191750000000046 × 0.886157719493861 × 6371000     		du = 1082.56505182445m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48197976)-sin(0.48180985))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.88607897317051-0.886157719493861)×R²
    abs(-0.86056322--0.86075497)×7.87463233512531e-05×R²
    0.000191750000000046×7.87463233512531e-05×6371000²
    0.000191750000000046×7.87463233512531e-05×40589641000000     		ar = 1171820.93365346m²