Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 118947 / 117665
↖ ↑ ↗
← S 80.604535°
E146.697693°		 ← 49.85 m → S 80.604535°
E146.700439°		 →
↑
49.88 m
↓
↑
49.88 m
↓
S 80.604983°
E146.697693°		 ← 49.85 m →
2 487 m²		 S 80.604983°
E146.700439°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 118947 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 117665 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.907497406005859 y=0.897716522216797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.907497406005859 × 217)
    floor (0.907497406005859 × 131072)
    floor (118947.5)     		tx = 118947
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.897716522216797 × 217)
    floor (0.897716522216797 × 131072)
    floor (117665.5)     		ty = 117665
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 118947 / 117665 ti = "17/118947/117665"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/118947/117665.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 118947 ÷ 217
    118947 ÷ 131072     		x = 0.907493591308594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 117665 ÷ 217
    117665 ÷ 131072     		y = 0.897712707519531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.907493591308594 × 2 - 1) × π
    0.814987182617188 × 3.1415926535     		Λ = 2.56035775
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.897712707519531 × 2 - 1) × π
    -0.795425415039062 × 3.1415926535     		Φ = -2.49890264029391
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.56035775} λ = 2.56035775}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.49890264029391))-π/2
    2×atan(0.0821751248352556)-π/2
    2×0.0819909012813374-π/2
    0.163981802562675-1.57079632675     		φ = -1.40681452
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.56035775} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.697693°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40681452 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.604535°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 118947 KachelY 117665 2.56035775 -1.40681452 146.697693 -80.604535
    Oben rechts KachelX + 1 118948 KachelY 117665 2.56040568 -1.40681452 146.700439 -80.604535
    Unten links KachelX 118947 KachelY + 1 117666 2.56035775 -1.40682235 146.697693 -80.604983
    Unten rechts KachelX + 1 118948 KachelY + 1 117666 2.56040568 -1.40682235 146.700439 -80.604983
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40681452--1.40682235) × R
    7.83000000015299e-06 × 6371000     		dl = 49.8849300009747m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40681452--1.40682235) × R
    7.83000000015299e-06 × 6371000     		dr = 49.8849300009747m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.56035775-2.56040568) × cos(-1.40681452) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.163247881555601 × 6371000     		do = 49.8497045050483m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.56035775-2.56040568) × cos(-1.40682235) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.163240156589384 × 6371000     		du = 49.8473455936827m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40681452)-sin(-1.40682235))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.163247881555601-0.163240156589384)×R²
    abs(2.56040568-2.56035775)×7.72496621681551e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.72496621681551e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.72496621681551e-06×40589641000000     		ar = 2486.69018284912m²