Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 118946 / 117664
↖ ↑ ↗
← S 80.604087°
E146.694946°		 ← 49.86 m → S 80.604087°
E146.697693°		 →
↑
49.82 m
↓
↑
49.82 m
↓
S 80.604535°
E146.694946°		 ← 49.86 m →
2 484 m²		 S 80.604535°
E146.697693°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 118946 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 117664 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.907489776611328 y=0.897708892822266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.907489776611328 × 217)
    floor (0.907489776611328 × 131072)
    floor (118946.5)     		tx = 118946
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.897708892822266 × 217)
    floor (0.897708892822266 × 131072)
    floor (117664.5)     		ty = 117664
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 118946 / 117664 ti = "17/118946/117664"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/118946/117664.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 118946 ÷ 217
    118946 ÷ 131072     		x = 0.907485961914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 117664 ÷ 217
    117664 ÷ 131072     		y = 0.897705078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.907485961914062 × 2 - 1) × π
    0.814971923828125 × 3.1415926535     		Λ = 2.56030981
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.897705078125 × 2 - 1) × π
    -0.79541015625 × 3.1415926535     		Φ = -2.49885470339429
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.56030981} λ = 2.56030981}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.49885470339429))-π/2
    2×atan(0.0821790641503846)-π/2
    2×0.0819948141724201-π/2
    0.16398962834484-1.57079632675     		φ = -1.40680670
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.56030981} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.694946°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40680670 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.604087°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 118946 KachelY 117664 2.56030981 -1.40680670 146.694946 -80.604087
    Oben rechts KachelX + 1 118947 KachelY 117664 2.56035775 -1.40680670 146.697693 -80.604087
    Unten links KachelX 118946 KachelY + 1 117665 2.56030981 -1.40681452 146.694946 -80.604535
    Unten rechts KachelX + 1 118947 KachelY + 1 117665 2.56035775 -1.40681452 146.697693 -80.604535
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40680670--1.40681452) × R
    7.81999999999172e-06 × 6371000     		dl = 49.8212199999473m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40680670--1.40681452) × R
    7.81999999999172e-06 × 6371000     		dr = 49.8212199999473m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.56030981-2.56035775) × cos(-1.40680670) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.163255596645971 × 6371000     		do = 49.8624614147045m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.56030981-2.56035775) × cos(-1.40681452) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.163247881555601 × 6371000     		du = 49.860105027519m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40680670)-sin(-1.40681452))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.163255596645971-0.163247881555601)×R²
    abs(2.56035775-2.56030981)×7.71509037003626e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.71509037003626e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.71509037003626e-06×40589641000000     		ar = 2484.1499609682m²