Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 118945 / 118955
↖ ↑ ↗
← S 81.165637°
E146.692200°		 ← 46.91 m → S 81.165637°
E146.694946°		 →
↑
46.89 m
↓
↑
46.89 m
↓
S 81.166059°
E146.692200°		 ← 46.90 m →
2 199 m²		 S 81.166059°
E146.694946°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 118945 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118955 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.907482147216797 y=0.907558441162109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.907482147216797 × 217)
    floor (0.907482147216797 × 131072)
    floor (118945.5)     		tx = 118945
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.907558441162109 × 217)
    floor (0.907558441162109 × 131072)
    floor (118955.5)     		ty = 118955
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 118945 / 118955 ti = "17/118945/118955"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/118945/118955.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 118945 ÷ 217
    118945 ÷ 131072     		x = 0.907478332519531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118955 ÷ 217
    118955 ÷ 131072     		y = 0.907554626464844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.907478332519531 × 2 - 1) × π
    0.814956665039062 × 3.1415926535     		Λ = 2.56026187
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.907554626464844 × 2 - 1) × π
    -0.815109252929688 × 3.1415926535     		Φ = -2.56074124080378
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.56026187} λ = 2.56026187}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.56074124080378))-π/2
    2×atan(0.0772474602471895)-π/2
    2×0.0770943584464615-π/2
    0.154188716892923-1.57079632675     		φ = -1.41660761
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.56026187} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.692200°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41660761 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.165637°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 118945 KachelY 118955 2.56026187 -1.41660761 146.692200 -81.165637
    Oben rechts KachelX + 1 118946 KachelY 118955 2.56030981 -1.41660761 146.694946 -81.165637
    Unten links KachelX 118945 KachelY + 1 118956 2.56026187 -1.41661497 146.692200 -81.166059
    Unten rechts KachelX + 1 118946 KachelY + 1 118956 2.56030981 -1.41661497 146.694946 -81.166059
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41660761--1.41661497) × R
    7.35999999990078e-06 × 6371000     		dl = 46.8905599993679m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41660761--1.41661497) × R
    7.35999999990078e-06 × 6371000     		dr = 46.8905599993679m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.56026187-2.56030981) × cos(-1.41660761) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.153578491412728 × 6371000     		do = 46.9068243877853m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.56026187-2.56030981) × cos(-1.41661497) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.153571218724285 × 6371000     		du = 46.9046031215358m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41660761)-sin(-1.41661497))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.153578491412728-0.153571218724285)×R²
    abs(2.56030981-2.56026187)×7.27268844324946e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.27268844324946e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.27268844324946e-06×40589641000000     		ar = 2199.43518513775m²