Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 118945 / 117663
↖ ↑ ↗
← S 80.603638°
E146.692200°		 ← 49.86 m → S 80.603638°
E146.694946°		 →
↑
49.88 m
↓
↑
49.88 m
↓
S 80.604087°
E146.692200°		 ← 49.86 m →
2 487 m²		 S 80.604087°
E146.694946°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 118945 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 117663 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.907482147216797 y=0.897701263427734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.907482147216797 × 217)
    floor (0.907482147216797 × 131072)
    floor (118945.5)     		tx = 118945
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.897701263427734 × 217)
    floor (0.897701263427734 × 131072)
    floor (117663.5)     		ty = 117663
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 118945 / 117663 ti = "17/118945/117663"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/118945/117663.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 118945 ÷ 217
    118945 ÷ 131072     		x = 0.907478332519531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 117663 ÷ 217
    117663 ÷ 131072     		y = 0.897697448730469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.907478332519531 × 2 - 1) × π
    0.814956665039062 × 3.1415926535     		Λ = 2.56026187
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.897697448730469 × 2 - 1) × π
    -0.795394897460938 × 3.1415926535     		Φ = -2.49880676649467
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.56026187} λ = 2.56026187}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.49880676649467))-π/2
    2×atan(0.0821830036543567)-π/2
    2×0.0819987272485624-π/2
    0.163997454497125-1.57079632675     		φ = -1.40679887
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.56026187} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.692200°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40679887 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.603638°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 118945 KachelY 117663 2.56026187 -1.40679887 146.692200 -80.603638
    Oben rechts KachelX + 1 118946 KachelY 117663 2.56030981 -1.40679887 146.694946 -80.603638
    Unten links KachelX 118945 KachelY + 1 117664 2.56026187 -1.40680670 146.692200 -80.604087
    Unten rechts KachelX + 1 118946 KachelY + 1 117664 2.56030981 -1.40680670 146.694946 -80.604087
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40679887--1.40680670) × R
    7.82999999993095e-06 × 6371000     		dl = 49.8849299995601m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40679887--1.40680670) × R
    7.82999999993095e-06 × 6371000     		dr = 49.8849299995601m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.56026187-2.56030981) × cos(-1.40679887) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.163263321592183 × 6371000     		do = 49.8648208121177m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.56026187-2.56030981) × cos(-1.40680670) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.163255596645971 × 6371000     		du = 49.8624614147045m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40679887)-sin(-1.40680670))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.163263321592183-0.163255596645971)×R²
    abs(2.56030981-2.56026187)×7.72494621181785e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.72494621181785e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.72494621181785e-06×40589641000000     		ar = 2487.44424633469m²