Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 118943 / 118954
↖ ↑ ↗
← S 81.165216°
E146.686707°		 ← 46.90 m → S 81.165216°
E146.689453°		 →
↑
46.89 m
↓
↑
46.89 m
↓
S 81.165637°
E146.686707°		 ← 46.90 m →
2 199 m²		 S 81.165637°
E146.689453°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 118943 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118954 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.907466888427734 y=0.907550811767578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.907466888427734 × 217)
    floor (0.907466888427734 × 131072)
    floor (118943.5)     		tx = 118943
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.907550811767578 × 217)
    floor (0.907550811767578 × 131072)
    floor (118954.5)     		ty = 118954
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 118943 / 118954 ti = "17/118943/118954"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/118943/118954.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 118943 ÷ 217
    118943 ÷ 131072     		x = 0.907463073730469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118954 ÷ 217
    118954 ÷ 131072     		y = 0.907546997070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.907463073730469 × 2 - 1) × π
    0.814926147460938 × 3.1415926535     		Λ = 2.56016600
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.907546997070312 × 2 - 1) × π
    -0.815093994140625 × 3.1415926535     		Φ = -2.56069330390416
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.56016600} λ = 2.56016600}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.56069330390416))-π/2
    2×atan(0.077251163339694)-π/2
    2×0.0770980395720105-π/2
    0.154196079144021-1.57079632675     		φ = -1.41660025
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.56016600} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.686707°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41660025 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.165216°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 118943 KachelY 118954 2.56016600 -1.41660025 146.686707 -81.165216
    Oben rechts KachelX + 1 118944 KachelY 118954 2.56021393 -1.41660025 146.689453 -81.165216
    Unten links KachelX 118943 KachelY + 1 118955 2.56016600 -1.41660761 146.686707 -81.165637
    Unten rechts KachelX + 1 118944 KachelY + 1 118955 2.56021393 -1.41660761 146.689453 -81.165637
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41660025--1.41660761) × R
    7.36000000012282e-06 × 6371000     		dl = 46.8905600007825m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41660025--1.41660761) × R
    7.36000000012282e-06 × 6371000     		dr = 46.8905600007825m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.56016600-2.56021393) × cos(-1.41660025) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.153585764092852 × 6371000     		do = 46.8992607025232m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.56016600-2.56021393) × cos(-1.41660761) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.153578491412728 × 6371000     		du = 46.8970399021569m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41660025)-sin(-1.41660761))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.153585764092852-0.153578491412728)×R²
    abs(2.56021393-2.56016600)×7.27268012415405e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.27268012415405e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.27268012415405e-06×40589641000000     		ar = 2199.0805306313m²