Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 118943 / 116845
↖ ↑ ↗
← S 80.229649°
E146.686707°		 ← 51.82 m → S 80.229649°
E146.689453°		 →
↑
51.80 m
↓
↑
51.80 m
↓
S 80.230115°
E146.686707°		 ← 51.82 m →
2 684 m²		 S 80.230115°
E146.689453°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 118943 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 116845 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.907466888427734 y=0.891460418701172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.907466888427734 × 217)
    floor (0.907466888427734 × 131072)
    floor (118943.5)     		tx = 118943
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.891460418701172 × 217)
    floor (0.891460418701172 × 131072)
    floor (116845.5)     		ty = 116845
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 118943 / 116845 ti = "17/118943/116845"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/118943/116845.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 118943 ÷ 217
    118943 ÷ 131072     		x = 0.907463073730469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 116845 ÷ 217
    116845 ÷ 131072     		y = 0.891456604003906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.907463073730469 × 2 - 1) × π
    0.814926147460938 × 3.1415926535     		Λ = 2.56016600
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.891456604003906 × 2 - 1) × π
    -0.782913208007812 × 3.1415926535     		Φ = -2.45959438260546
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.56016600} λ = 2.56016600}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.45959438260546))-π/2
    2×atan(0.0854696118985983)-π/2
    2×0.0852623993034384-π/2
    0.170524798606877-1.57079632675     		φ = -1.40027153
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.56016600} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.686707°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40027153 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.229649°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 118943 KachelY 116845 2.56016600 -1.40027153 146.686707 -80.229649
    Oben rechts KachelX + 1 118944 KachelY 116845 2.56021393 -1.40027153 146.689453 -80.229649
    Unten links KachelX 118943 KachelY + 1 116846 2.56016600 -1.40027966 146.686707 -80.230115
    Unten rechts KachelX + 1 118944 KachelY + 1 116846 2.56021393 -1.40027966 146.689453 -80.230115
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40027153--1.40027966) × R
    8.13000000010611e-06 × 6371000     		dl = 51.796230000676m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40027153--1.40027966) × R
    8.13000000010611e-06 × 6371000     		dr = 51.796230000676m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.56016600-2.56021393) × cos(-1.40027153) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.169699557472631 × 6371000     		do = 51.8198013599759m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.56016600-2.56021393) × cos(-1.40027966) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.169691545385804 × 6371000     		du = 51.8173547728779m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40027153)-sin(-1.40027966))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.169699557472631-0.169691545385804)×R²
    abs(2.56021393-2.56016600)×8.0120868268807e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.0120868268807e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.0120868268807e-06×40589641000000     		ar = 2684.00698786717m²