Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 118941 / 119477
↖ ↑ ↗
← S 81.383125°
E146.681213°		 ← 45.76 m → S 81.383125°
E146.683960°		 →
↑
45.74 m
↓
↑
45.74 m
↓
S 81.383536°
E146.681213°		 ← 45.76 m →
2 093 m²		 S 81.383536°
E146.683960°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 118941 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119477 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.907451629638672 y=0.911540985107422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.907451629638672 × 217)
    floor (0.907451629638672 × 131072)
    floor (118941.5)     		tx = 118941
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.911540985107422 × 217)
    floor (0.911540985107422 × 131072)
    floor (119477.5)     		ty = 119477
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 118941 / 119477 ti = "17/118941/119477"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/118941/119477.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 118941 ÷ 217
    118941 ÷ 131072     		x = 0.907447814941406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119477 ÷ 217
    119477 ÷ 131072     		y = 0.911537170410156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.907447814941406 × 2 - 1) × π
    0.814895629882812 × 3.1415926535     		Λ = 2.56007012
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.911537170410156 × 2 - 1) × π
    -0.823074340820312 × 3.1415926535     		Φ = -2.58576430240545
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.56007012} λ = 2.56007012}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.58576430240545))-π/2
    2×atan(0.0753384762121357)-π/2
    2×0.0751964221348035-π/2
    0.150392844269607-1.57079632675     		φ = -1.42040348
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.56007012} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.681213°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42040348 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.383125°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 118941 KachelY 119477 2.56007012 -1.42040348 146.681213 -81.383125
    Oben rechts KachelX + 1 118942 KachelY 119477 2.56011806 -1.42040348 146.683960 -81.383125
    Unten links KachelX 118941 KachelY + 1 119478 2.56007012 -1.42041066 146.681213 -81.383536
    Unten rechts KachelX + 1 118942 KachelY + 1 119478 2.56011806 -1.42041066 146.683960 -81.383536
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42040348--1.42041066) × R
    7.1799999998845e-06 × 6371000     		dl = 45.7437799992642m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42040348--1.42041066) × R
    7.1799999998845e-06 × 6371000     		dr = 45.7437799992642m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.56007012-2.56011806) × cos(-1.42040348) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.149826556481173 × 6371000     		do = 45.7608868853078m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.56007012-2.56011806) × cos(-1.42041066) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.14981945752303 × 6371000     		du = 45.758718680764m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42040348)-sin(-1.42041066))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.149826556481173-0.14981945752303)×R²
    abs(2.56011806-2.56007012)×7.09895814240968e-06×R²
    4.79400000004127e-05×7.09895814240968e-06×6371000²
    4.79400000004127e-05×7.09895814240968e-06×40589641000000     		ar = 2093.22635136162m²