Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 118940 / 119564
↖ ↑ ↗
← S 81.418853°
E146.678467°		 ← 45.56 m → S 81.418853°
E146.681213°		 →
↑
45.55 m
↓
↑
45.55 m
↓
S 81.419262°
E146.678467°		 ← 45.56 m →
2 075 m²		 S 81.419262°
E146.681213°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 118940 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119564 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.907444000244141 y=0.912204742431641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.907444000244141 × 217)
    floor (0.907444000244141 × 131072)
    floor (118940.5)     		tx = 118940
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.912204742431641 × 217)
    floor (0.912204742431641 × 131072)
    floor (119564.5)     		ty = 119564
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 118940 / 119564 ti = "17/118940/119564"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/118940/119564.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 118940 ÷ 217
    118940 ÷ 131072     		x = 0.907440185546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119564 ÷ 217
    119564 ÷ 131072     		y = 0.912200927734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.907440185546875 × 2 - 1) × π
    0.81488037109375 × 3.1415926535     		Λ = 2.56002219
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.912200927734375 × 2 - 1) × π
    -0.82440185546875 × 3.1415926535     		Φ = -2.58993481267239
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.56002219} λ = 2.56002219}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.58993481267239))-π/2
    2×atan(0.0750249306006551)-π/2
    2×0.0748846388151007-π/2
    0.149769277630201-1.57079632675     		φ = -1.42102705
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.56002219} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.678467°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42102705 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.418853°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 118940 KachelY 119564 2.56002219 -1.42102705 146.678467 -81.418853
    Oben rechts KachelX + 1 118941 KachelY 119564 2.56007012 -1.42102705 146.681213 -81.418853
    Unten links KachelX 118940 KachelY + 1 119565 2.56002219 -1.42103420 146.678467 -81.419262
    Unten rechts KachelX + 1 118941 KachelY + 1 119565 2.56007012 -1.42103420 146.681213 -81.419262
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42102705--1.42103420) × R
    7.15000000006683e-06 × 6371000     		dl = 45.5526500004257m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42102705--1.42103420) × R
    7.15000000006683e-06 × 6371000     		dr = 45.5526500004257m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.56002219-2.56007012) × cos(-1.42102705) × R
    4.79299999995852e-05 × 0.149209996065874 × 6371000     		do = 45.5630672945729m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.56002219-2.56007012) × cos(-1.42103420) × R
    4.79299999995852e-05 × 0.149202926102517 × 6371000     		du = 45.5609083962103m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42102705)-sin(-1.42103420))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.149209996065874-0.149202926102517)×R²
    abs(2.56007012-2.56002219)×7.06996335680943e-06×R²
    4.79299999995852e-05×7.06996335680943e-06×6371000²
    4.79299999995852e-05×7.06996335680943e-06×40589641000000     		ar = 2075.46928555567m²