Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 118940 / 116852
↖ ↑ ↗
← S 80.232911°
E146.678467°		 ← 51.80 m → S 80.232911°
E146.681213°		 →
↑
51.80 m
↓
↑
51.80 m
↓
S 80.233377°
E146.678467°		 ← 51.80 m →
2 683 m²		 S 80.233377°
E146.681213°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 118940 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 116852 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.907444000244141 y=0.891513824462891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.907444000244141 × 217)
    floor (0.907444000244141 × 131072)
    floor (118940.5)     		tx = 118940
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.891513824462891 × 217)
    floor (0.891513824462891 × 131072)
    floor (116852.5)     		ty = 116852
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 118940 / 116852 ti = "17/118940/116852"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/118940/116852.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 118940 ÷ 217
    118940 ÷ 131072     		x = 0.907440185546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 116852 ÷ 217
    116852 ÷ 131072     		y = 0.891510009765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.907440185546875 × 2 - 1) × π
    0.81488037109375 × 3.1415926535     		Λ = 2.56002219
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.891510009765625 × 2 - 1) × π
    -0.78302001953125 × 3.1415926535     		Φ = -2.4599299409028
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.56002219} λ = 2.56002219}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.4599299409028))-π/2
    2×atan(0.0854409366725293)-π/2
    2×0.0852339319630821-π/2
    0.170467863926164-1.57079632675     		φ = -1.40032846
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.56002219} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.678467°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40032846 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.232911°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 118940 KachelY 116852 2.56002219 -1.40032846 146.678467 -80.232911
    Oben rechts KachelX + 1 118941 KachelY 116852 2.56007012 -1.40032846 146.681213 -80.232911
    Unten links KachelX 118940 KachelY + 1 116853 2.56002219 -1.40033659 146.678467 -80.233377
    Unten rechts KachelX + 1 118941 KachelY + 1 116853 2.56007012 -1.40033659 146.681213 -80.233377
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40032846--1.40033659) × R
    8.12999999988406e-06 × 6371000     		dl = 51.7962299992614m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40032846--1.40033659) × R
    8.12999999988406e-06 × 6371000     		dr = 51.7962299992614m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.56002219-2.56007012) × cos(-1.40032846) × R
    4.79299999995852e-05 × 0.169643452919214 × 6371000     		do = 51.8026691591723m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.56002219-2.56007012) × cos(-1.40033659) × R
    4.79299999995852e-05 × 0.169635440753858 × 6371000     		du = 51.8002225480946m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40032846)-sin(-1.40033659))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.169643452919214-0.169635440753858)×R²
    abs(2.56007012-2.56002219)×8.01216535570304e-06×R²
    4.79299999995852e-05×8.01216535570304e-06×6371000²
    4.79299999995852e-05×8.01216535570304e-06×40589641000000     		ar = 2683.11960379943m²