Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 118938 / 116884
↖ ↑ ↗
← S 80.247810°
E146.672973°		 ← 51.74 m → S 80.247810°
E146.675720°		 →
↑
51.73 m
↓
↑
51.73 m
↓
S 80.248275°
E146.672973°		 ← 51.73 m →
2 676 m²		 S 80.248275°
E146.675720°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 118938 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 116884 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.907428741455078 y=0.891757965087891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.907428741455078 × 217)
    floor (0.907428741455078 × 131072)
    floor (118938.5)     		tx = 118938
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.891757965087891 × 217)
    floor (0.891757965087891 × 131072)
    floor (116884.5)     		ty = 116884
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 118938 / 116884 ti = "17/118938/116884"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/118938/116884.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 118938 ÷ 217
    118938 ÷ 131072     		x = 0.907424926757812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 116884 ÷ 217
    116884 ÷ 131072     		y = 0.891754150390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.907424926757812 × 2 - 1) × π
    0.814849853515625 × 3.1415926535     		Λ = 2.55992631
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.891754150390625 × 2 - 1) × π
    -0.78350830078125 × 3.1415926535     		Φ = -2.46146392169064
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.55992631} λ = 2.55992631}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.46146392169064))-π/2
    2×atan(0.0853099723912051)-π/2
    2×0.0851039153687646-π/2
    0.170207830737529-1.57079632675     		φ = -1.40058850
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.55992631} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.672973°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40058850 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.247810°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 118938 KachelY 116884 2.55992631 -1.40058850 146.672973 -80.247810
    Oben rechts KachelX + 1 118939 KachelY 116884 2.55997425 -1.40058850 146.675720 -80.247810
    Unten links KachelX 118938 KachelY + 1 116885 2.55992631 -1.40059662 146.672973 -80.248275
    Unten rechts KachelX + 1 118939 KachelY + 1 116885 2.55997425 -1.40059662 146.675720 -80.248275
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40058850--1.40059662) × R
    8.11999999994484e-06 × 6371000     		dl = 51.7325199996486m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40058850--1.40059662) × R
    8.11999999994484e-06 × 6371000     		dr = 51.7325199996486m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.55992631-2.55997425) × cos(-1.40058850) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.169387176335067 × 6371000     		do = 51.7352036786145m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.55992631-2.55997425) × cos(-1.40059662) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.169379173666853 × 6371000     		du = 51.7327594577531m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40058850)-sin(-1.40059662))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.169387176335067-0.169379173666853)×R²
    abs(2.55997425-2.55992631)×8.00266821426865e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.00266821426865e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.00266821426865e-06×40589641000000     		ar = 2676.32923615773m²