Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 118937 / 116885
↖ ↑ ↗
← S 80.248275°
E146.670227°		 ← 51.72 m → S 80.248275°
E146.672973°		 →
↑
51.73 m
↓
↑
51.73 m
↓
S 80.248740°
E146.670227°		 ← 51.72 m →
2 676 m²		 S 80.248740°
E146.672973°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 118937 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 116885 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.907421112060547 y=0.891765594482422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.907421112060547 × 217)
    floor (0.907421112060547 × 131072)
    floor (118937.5)     		tx = 118937
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.891765594482422 × 217)
    floor (0.891765594482422 × 131072)
    floor (116885.5)     		ty = 116885
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 118937 / 116885 ti = "17/118937/116885"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/118937/116885.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 118937 ÷ 217
    118937 ÷ 131072     		x = 0.907417297363281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 116885 ÷ 217
    116885 ÷ 131072     		y = 0.891761779785156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.907417297363281 × 2 - 1) × π
    0.814834594726562 × 3.1415926535     		Λ = 2.55987838
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.891761779785156 × 2 - 1) × π
    -0.783523559570312 × 3.1415926535     		Φ = -2.46151185859026
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.55987838} λ = 2.55987838}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.46151185859026))-π/2
    2×atan(0.0853058829936393)-π/2
    2×0.08509985551654-π/2
    0.17019971103308-1.57079632675     		φ = -1.40059662
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.55987838} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.670227°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40059662 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.248275°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 118937 KachelY 116885 2.55987838 -1.40059662 146.670227 -80.248275
    Oben rechts KachelX + 1 118938 KachelY 116885 2.55992631 -1.40059662 146.672973 -80.248275
    Unten links KachelX 118937 KachelY + 1 116886 2.55987838 -1.40060474 146.670227 -80.248740
    Unten rechts KachelX + 1 118938 KachelY + 1 116886 2.55992631 -1.40060474 146.672973 -80.248740
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40059662--1.40060474) × R
    8.11999999994484e-06 × 6371000     		dl = 51.7325199996486m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40059662--1.40060474) × R
    8.11999999994484e-06 × 6371000     		dr = 51.7325199996486m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.55987838-2.55992631) × cos(-1.40059662) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.169379173666853 × 6371000     		do = 51.7219683106644m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.55987838-2.55992631) × cos(-1.40060474) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.169371170987471 × 6371000     		du = 51.7195245962428m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40059662)-sin(-1.40060474))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.169379173666853-0.169371170987471)×R²
    abs(2.55992631-2.55987838)×8.00267938219634e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.00267938219634e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.00267938219634e-06×40589641000000     		ar = 2675.644550368m²