Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 118934 / 116894
↖ ↑ ↗
← S 80.252461°
E146.661988°		 ← 51.70 m → S 80.252461°
E146.664734°		 →
↑
51.67 m
↓
↑
51.67 m
↓
S 80.252926°
E146.661988°		 ← 51.70 m →
2 671 m²		 S 80.252926°
E146.664734°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 118934 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 116894 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.907398223876953 y=0.891834259033203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.907398223876953 × 217)
    floor (0.907398223876953 × 131072)
    floor (118934.5)     		tx = 118934
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.891834259033203 × 217)
    floor (0.891834259033203 × 131072)
    floor (116894.5)     		ty = 116894
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 118934 / 116894 ti = "17/118934/116894"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/118934/116894.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 118934 ÷ 217
    118934 ÷ 131072     		x = 0.907394409179688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 116894 ÷ 217
    116894 ÷ 131072     		y = 0.891830444335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.907394409179688 × 2 - 1) × π
    0.814788818359375 × 3.1415926535     		Λ = 2.55973457
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.891830444335938 × 2 - 1) × π
    -0.783660888671875 × 3.1415926535     		Φ = -2.46194329068684
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.55973457} λ = 2.55973457}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.46194329068684))-π/2
    2×atan(0.085269087235695)-π/2
    2×0.0850633254764716-π/2
    0.170126650952943-1.57079632675     		φ = -1.40066968
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.55973457} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.661988°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40066968 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.252461°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 118934 KachelY 116894 2.55973457 -1.40066968 146.661988 -80.252461
    Oben rechts KachelX + 1 118935 KachelY 116894 2.55978250 -1.40066968 146.664734 -80.252461
    Unten links KachelX 118934 KachelY + 1 116895 2.55973457 -1.40067779 146.661988 -80.252926
    Unten rechts KachelX + 1 118935 KachelY + 1 116895 2.55978250 -1.40067779 146.664734 -80.252926
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40066968--1.40067779) × R
    8.11000000000561e-06 × 6371000     		dl = 51.6688100000358m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40066968--1.40067779) × R
    8.11000000000561e-06 × 6371000     		dr = 51.6688100000358m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.55973457-2.55978250) × cos(-1.40066968) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.169307168861698 × 6371000     		do = 51.6999807771925m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.55973457-2.55978250) × cos(-1.40067779) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.169299175937503 × 6371000     		du = 51.6975400416346m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40066968)-sin(-1.40067779))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.169307168861698-0.169299175937503)×R²
    abs(2.55978250-2.55973457)×7.99292419517705e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.99292419517705e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.99292419517705e-06×40589641000000     		ar = 2671.21342904277m²