Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 118933 / 119445
↖ ↑ ↗
← S 81.369947°
E146.659241°		 ← 45.83 m → S 81.369947°
E146.661988°		 →
↑
45.81 m
↓
↑
45.81 m
↓
S 81.370359°
E146.659241°		 ← 45.83 m →
2 099 m²		 S 81.370359°
E146.661988°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 118933 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119445 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.907390594482422 y=0.911296844482422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.907390594482422 × 217)
    floor (0.907390594482422 × 131072)
    floor (118933.5)     		tx = 118933
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.911296844482422 × 217)
    floor (0.911296844482422 × 131072)
    floor (119445.5)     		ty = 119445
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 118933 / 119445 ti = "17/118933/119445"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/118933/119445.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 118933 ÷ 217
    118933 ÷ 131072     		x = 0.907386779785156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119445 ÷ 217
    119445 ÷ 131072     		y = 0.911293029785156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.907386779785156 × 2 - 1) × π
    0.814773559570312 × 3.1415926535     		Λ = 2.55968663
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.911293029785156 × 2 - 1) × π
    -0.822586059570312 × 3.1415926535     		Φ = -2.58423032161761
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.55968663} λ = 2.55968663}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.58423032161761))-π/2
    2×atan(0.0754541326719448)-π/2
    2×0.0753114248497408-π/2
    0.150622849699482-1.57079632675     		φ = -1.42017348
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.55968663} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.659241°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42017348 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.369947°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 118933 KachelY 119445 2.55968663 -1.42017348 146.659241 -81.369947
    Oben rechts KachelX + 1 118934 KachelY 119445 2.55973457 -1.42017348 146.661988 -81.369947
    Unten links KachelX 118933 KachelY + 1 119446 2.55968663 -1.42018067 146.659241 -81.370359
    Unten rechts KachelX + 1 118934 KachelY + 1 119446 2.55973457 -1.42018067 146.661988 -81.370359
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42017348--1.42018067) × R
    7.18999999982373e-06 × 6371000     		dl = 45.807489998877m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42017348--1.42018067) × R
    7.18999999982373e-06 × 6371000     		dr = 45.807489998877m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.55968663-2.55973457) × cos(-1.42017348) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.150053956344185 × 6371000     		do = 45.8303406563205m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.55968663-2.55973457) × cos(-1.42018067) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.15004684774686 × 6371000     		du = 45.8281695077219m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42017348)-sin(-1.42018067))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.150053956344185-0.15004684774686)×R²
    abs(2.55973457-2.55968663)×7.10859732572233e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.10859732572233e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.10859732572233e-06×40589641000000     		ar = 2099.32314397501m²