Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 118933 / 118965
↖ ↑ ↗
← S 81.169854°
E146.659241°		 ← 46.88 m → S 81.169854°
E146.661988°		 →
↑
46.89 m
↓
↑
46.89 m
↓
S 81.170276°
E146.659241°		 ← 46.88 m →
2 198 m²		 S 81.170276°
E146.661988°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 118933 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118965 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.907390594482422 y=0.907634735107422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.907390594482422 × 217)
    floor (0.907390594482422 × 131072)
    floor (118933.5)     		tx = 118933
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.907634735107422 × 217)
    floor (0.907634735107422 × 131072)
    floor (118965.5)     		ty = 118965
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 118933 / 118965 ti = "17/118933/118965"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/118933/118965.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 118933 ÷ 217
    118933 ÷ 131072     		x = 0.907386779785156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118965 ÷ 217
    118965 ÷ 131072     		y = 0.907630920410156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.907386779785156 × 2 - 1) × π
    0.814773559570312 × 3.1415926535     		Λ = 2.55968663
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.907630920410156 × 2 - 1) × π
    -0.815261840820312 × 3.1415926535     		Φ = -2.56122060979998
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.55968663} λ = 2.55968663}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.56122060979998))-π/2
    2×atan(0.0772104390838197)-π/2
    2×0.0770575567796695-π/2
    0.154115113559339-1.57079632675     		φ = -1.41668121
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.55968663} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.659241°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41668121 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.169854°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 118933 KachelY 118965 2.55968663 -1.41668121 146.659241 -81.169854
    Oben rechts KachelX + 1 118934 KachelY 118965 2.55973457 -1.41668121 146.661988 -81.169854
    Unten links KachelX 118933 KachelY + 1 118966 2.55968663 -1.41668857 146.659241 -81.170276
    Unten rechts KachelX + 1 118934 KachelY + 1 118966 2.55973457 -1.41668857 146.661988 -81.170276
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41668121--1.41668857) × R
    7.36000000012282e-06 × 6371000     		dl = 46.8905600007825m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41668121--1.41668857) × R
    7.36000000012282e-06 × 6371000     		dr = 46.8905600007825m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.55968663-2.55973457) × cos(-1.41668121) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.153505764153992 × 6371000     		do = 46.8846116109677m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.55968663-2.55973457) × cos(-1.41668857) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.153498491382377 × 6371000     		du = 46.8823903193155m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41668121)-sin(-1.41668857))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.153505764153992-0.153498491382377)×R²
    abs(2.55973457-2.55968663)×7.27277161463591e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.27277161463591e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.27277161463591e-06×40589641000000     		ar = 2198.39361520101m²