Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 118932 / 118515
↖ ↑ ↗
← S 80.978091°
E146.656494°		 ← 47.89 m → S 80.978091°
E146.659241°		 →
↑
47.91 m
↓
↑
47.91 m
↓
S 80.978522°
E146.656494°		 ← 47.89 m →
2 295 m²		 S 80.978522°
E146.659241°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 118932 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118515 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.907382965087891 y=0.904201507568359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.907382965087891 × 217)
    floor (0.907382965087891 × 131072)
    floor (118932.5)     		tx = 118932
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.904201507568359 × 217)
    floor (0.904201507568359 × 131072)
    floor (118515.5)     		ty = 118515
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 118932 / 118515 ti = "17/118932/118515"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/118932/118515.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 118932 ÷ 217
    118932 ÷ 131072     		x = 0.907379150390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118515 ÷ 217
    118515 ÷ 131072     		y = 0.904197692871094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.907379150390625 × 2 - 1) × π
    0.81475830078125 × 3.1415926535     		Λ = 2.55963869
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.904197692871094 × 2 - 1) × π
    -0.808395385742188 × 3.1415926535     		Φ = -2.53964900497096
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.55963869} λ = 2.55963869}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.53964900497096))-π/2
    2×atan(0.0788940863636006)-π/2
    2×0.0787310087437695-π/2
    0.157462017487539-1.57079632675     		φ = -1.41333431
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.55963869} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.656494°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41333431 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.978091°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 118932 KachelY 118515 2.55963869 -1.41333431 146.656494 -80.978091
    Oben rechts KachelX + 1 118933 KachelY 118515 2.55968663 -1.41333431 146.659241 -80.978091
    Unten links KachelX 118932 KachelY + 1 118516 2.55963869 -1.41334183 146.656494 -80.978522
    Unten rechts KachelX + 1 118933 KachelY + 1 118516 2.55968663 -1.41334183 146.659241 -80.978522
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41333431--1.41334183) × R
    7.52000000003861e-06 × 6371000     		dl = 47.909920000246m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41333431--1.41334183) × R
    7.52000000003861e-06 × 6371000     		dr = 47.909920000246m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.55963869-2.55968663) × cos(-1.41333431) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.156812129926707 × 6371000     		do = 47.8944608238091m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.55963869-2.55968663) × cos(-1.41334183) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.156804702956326 × 6371000     		du = 47.8921924358847m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41333431)-sin(-1.41334183))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.156812129926707-0.156804702956326)×R²
    abs(2.55968663-2.55963869)×7.42697038036422e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.42697038036422e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.42697038036422e-06×40589641000000     		ar = 2294.56544740165m²